Questão 5) Abra a derivada material na equação que segue e explique quais termos dominam o balanço nos seguintes casos:
\rho \frac{D u_{i}}{D t}-\rho g_{i}-\frac{\partial \tau_{i j}}{\partial x_{j}}=0
c) ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) abrir a derivada material na equação dada e (ii) explicar quais termos dominam o balanço no caso específico (c) — ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento.
A equação dada é
\rho \frac{D u_{i}}{D t}-\rho g_{i}-\frac{\partial \tau_{i j}}{\partial x_{j}}=0.
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vou usar):
  • u_i é a velocidade (componentes espaciais), \rho é a densidade do fluido.
  • \dfrac{D u_i}{D t} é a derivada material (aceleração total de uma partícula fluida).
  • g_i é a aceleração da gravidade (vetor, normalmente com componente vertical não nula).
  • \tau_{ij} é o tensor de tensões (contém pressão e tensões viscosas e/ou tensões turbulentas Reynolds, dependendo do modelo).
  • O caso a analisar: ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento — isto pressupõe pequenas perturbações de superfície (pequena amplitude), ondulação gerada por interação com o vento, e interesse no balanço dominante na região do escoamento de ondas.

Passo 2

Primeiro, o que é a derivada material e como abri-la. A derivada material da velocidade é
\frac{D u_i}{D t}=\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}.
Explicando em palavras e de forma simples:
  • \dfrac{\partial u_i}{\partial t} é a taxa de variação local da velocidade num ponto fixo (variação temporal).
  • u_j \dfrac{\partial u_i}{\partial x_j} é a taxa de variação devido ao transporte espacial (termo convectivo): se o fluido corre com velocidade u_j, ele “carrega” variações espaciais de u_i.
    A soma das duas dá a aceleração total sentida por uma partícula fluida.

Passo 3

Agora substituir essa expansão na equação. Antes, convém separar o que é \tau_{ij}. O tensor \tau_{ij} normalmente pode ser escrito como
\tau_{ij} = -p\,\delta_{ij} + \tau^{(v)}_{ij},
onde:
  • p é a pressão (termo isotrópico),
  • \delta_{ij} é o delta de Kronecker,
  • \tau^{(v)}_{ij} representa tensões viscosas e/ou tensões turbulentas (Reynolds stresses) dependendo do contexto.
Substituindo \dfrac{D u_i}{D t} e a forma de \tau_{ij} obtemos (mostro passo a passo):
\rho\!\left(\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)-\rho g_i -\frac{\partial}{\partial x_j}\!\big(-p\,\delta_{ij}+\tau^{(v)}_{ij}\big)=0.
Desenvolvendo o último termo e arrumando:
\rho\frac{\partial u_i}{\partial t}+\rho u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\rho g_i +\frac{\partial p}{\partial x_i}-\frac{\partial \tau^{(v)}_{ij}}{\partial x_j}=0.

Passo 4

Interpretação física dos termos na forma expandida:
\rho\frac{\partial u_i}{\partial t} \quad\text{(aceleração local)}çã
\rho u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j} \quad\text{(aceleração convectiva / termo não linear)}çãã
-\rho g_i \quad\text{(força volumétrica da gravidade)}çé
\frac{\partial p}{\partial x_i} \quad\text{(gradiente de pressão)}ã
-\frac{\partial \tau^{(v)}_{ij}}{\partial x_j} \quad\text{(divergência das tensões viscosas / turbulentas)}.êõ
Para ondas de superfície é útil separar o estado de repouso (base hidroestática) e as perturbações de onda. Escreve-se a pressão total como
p(x,t,z)=p_{0}(z)+p'(x,t,z),
onde p_0(z) satisfaz a condição hydrostática \dfrac{d p_0}{d z}=-\rho g. Ao inserir essa decomposição, o termo -\rho g_i é exatamente o que mantém o equilíbrio hidroestático com \partial p_0/\partial x_i (no vertical i=3 normalmente), de modo que, quando subtrairmos o equilíbrio de base, o termo de gravidade aparece nas equações lineares através de \partial p'/\partial x_i — ou seja, a gravidade fornece a força restauradora que aparece via perturbação de pressão p'.

Passo 5

Agora faço uma análise de escalas simples (ordem de grandeza) adequada para ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento. Introduzo as escalas típicas:
  • amplitude vertical da superfície: a (pequeno: a/L\ll1),
  • comprimento de onda (escala horizontal): L,
  • frequência angular: \omega,
  • velocidade típica das partículas induzidas pela onda: u'\sim a\omega,
  • pressão de perturbação associada à elevação: p'\sim\rho g a.
Estimativas das ordens de grandeza dos termos (por componente típica):
  • aceleração local:
\rho\frac{\partial u'}{\partial t}\sim \rho a\omega^2.
  • termo convectivo (não linear):
\rho u'_j\frac{\partial u'_i}{\partial x_j}\sim \rho\frac{u'^2}{L}\sim \rho\frac{(a\omega)^2}{L}=\rho a^2\frac{\omega^2}{L}.
  • gradiente de pressão (perturbação):
\frac{\partial p'}{\partial x}\sim \frac{\rho g a}{L}.
  • termo viscoso/turbulento (ordem):
\frac{\partial \tau^{(v)}_{ij}}{\partial x_j}\sim \mu\frac{u'}{L^2}\quad\text{(viscosidade molecular)}
ou, para tensões turbulentas, escala dependente da camada-limite turbulenta.
Compare os termos relevantes dividindo pelo termo de aceleração local \rho a\omega^2:
  • razão não linear / inercial:
\frac{\rho a^2 \omega^2 / L}{\rho a \omega^2}=\frac{a}{L}\ll1 \quad\text{(condição de linearidade: pequena inclinação/encrespamento).}çãçã
Logo, em ondas lineares, o termo convectivo é pequeno frente ao termo local de aceleração e pode ser desprezado na primeira aproximação.
  • razão pressão/ inercial:
\frac{\rho g a / L}{\rho a\omega^2} \sim \frac{g}{\omega^2 L}.
Igualando pressão e inércia obtém-se a escala de dispersão típica \omega^2\sim g k (com k\sim 1/L), ou seja, pressão (restauração gravitacional via p') e inércia estão em balanço — este é o balanço que gera as ondas de gravidade.
  • razão viscosidade / inercial:
\frac{\mu/(L^2)\,u'}{\rho a\omega^2}\sim\frac{\mu}{\rho \omega L^2}.
Em água de oceano típica esse número é muito pequeno para escalas de onda usuais, logo viscosidade molecular é desprezível no corpo do fluido (salvo perto de fronteiras onde há uma camada de cisalhamento).

Passo 6

Interpretação física e papel do vento:
  • Para ondas lineares de gravidade, o balanço dominante no interior do fluido (após subtrair o equilíbrio hidroestático de base) é entre a aceleração inercial local e o gradiente de pressão da perturbação:
\rho\frac{\partial u'_i}{\partial t}+\frac{\partial p'}{\partial x_i}\approx 0,
ou, reescrito incluindo sinal conforme convier,
\rho\frac{\partial u'_i}{\partial t} \approx -\frac{\partial p'}{\partial x_i}.
A gravidade aparece como força restauradora através de p' (porque p' está ligada à elevação da superfície \eta por p'\sim\rho g \eta).
  • O termo convectivo \rho u_j\partial u_i/\partial x_j é pequeno (ordem de \,a/L\, vezes o termo inercial) e, em primeira aproximação linear, é desprezado.
  • As tensões viscosas/turbulentas no volumétrico são geralmente pequenas comparadas à inércia para ondas típicas; entretanto, o vento força as ondas através de tensões na interface ar-água (uma condição de contorno): a tensão de cisalhamento imposta pelo vento na superfície e as flutuações de pressão na interface transferem energia e momento para as ondas. Portanto:
    • o efeito do vento aparece principalmente como condição de contorno de superfície (forçando crescimento/amplitude das ondas) ou como divergência de tensões turbulentas muito próxima à superfície (camada-limite), não como um termo volumétrico dominante em toda a coluna de água.
    • ao incluir efeitos turbulentos médios (Reynolds stresses), -\partial \tau^{(v)}_{ij}/\partial x_j pode ser relevante numa camada de superfície e atuar como fonte de momento, mas não compete com a inércia na maior parte do domínio de ondas lineares.

Passo 7

Resumo prático — quais termos manter na equação linearizada para ondas de gravidade forçadas pelo vento:
  • Manter: \rho\partial u'_i/\partial t (inércia local) e \partial p'/\partial x_i (gradiente de pressão ligado à gravidade).
  • Desprezar na primeira aproximação: \rho u_j\partial u_i/\partial x_j (não linear convectivo) e -\partial \tau^{(v)}_{ij}/\partial x_j (viscosidade molecular) no corpo do fluido.
  • Incluir o efeito do vento via condição de contorno de superfície (tensão de cisalhamento na interface e/ou pressão superficial), ou modelar sua ação por termos de Reynolds-stress localizados na camada superficial se for preciso representar crescimento/forçamento.

Resposta

\rho\!\left(\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right)-\rho g_i +\frac{\partial p}{\partial x_i}-\frac{\partial \tau^{(v)}_{ij}}{\partial x_j}=0.
Para ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento: após subtrair o equilíbrio hidroestático, o termo dominante é o balanço entre a aceleração inercial local e o gradiente de pressão da perturbação,
\rho\frac{\partial u'_i}{\partial t}\approx -\frac{\partial p'}{\partial x_i},
enquanto o termo convectivo \rho u_j\partial u_i/\partial x_j e as tensões viscosas volumétricas são desprezíveis ( \sim a/L e \sim\mu/(\rho\omega L^2) menores). O vento aparece principalmente como condição de contorno (tensão de superfície / flutuações de pressão) que fornece o forçamento e crescimento das ondas, e só gera contribuição volumétrica importante muito próxima da superfície via tensões turbulentas.

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