Questão 5) Abra a derivada material na equação que segue e explique quais termos dominam o balanço nos seguintes casos:
c) ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) abrir a derivada material na equação dada e (ii) explicar quais termos dominam o balanço no caso específico (c) — ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento.
A equação dada é
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vou usar):
-
é a velocidade (componentes espaciais), é a densidade do fluido. -
é a derivada material (aceleração total de uma partícula fluida). -
é a aceleração da gravidade (vetor, normalmente com componente vertical não nula). -
é o tensor de tensões (contém pressão e tensões viscosas e/ou tensões turbulentas Reynolds, dependendo do modelo). - O caso a analisar: ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento — isto pressupõe pequenas perturbações de superfície (pequena amplitude), ondulação gerada por interação com o vento, e interesse no balanço dominante na região do escoamento de ondas.
Passo 2
Primeiro, o que é a derivada material e como abri-la. A derivada material da velocidade é
Explicando em palavras e de forma simples:
-
é a taxa de variação local da velocidade num ponto fixo (variação temporal). -
é a taxa de variação devido ao transporte espacial (termo convectivo): se o fluido corre com velocidade , ele “carrega” variações espaciais de .
A soma das duas dá a aceleração total sentida por uma partícula fluida.
Passo 3
Agora substituir essa expansão na equação. Antes, convém separar o que é
. O tensor
normalmente pode ser escrito como
onde:
-
é a pressão (termo isotrópico), -
é o delta de Kronecker, -
representa tensões viscosas e/ou tensões turbulentas (Reynolds stresses) dependendo do contexto.
Substituindo
e a forma de
obtemos (mostro passo a passo):
Desenvolvendo o último termo e arrumando:
Passo 4
Interpretação física dos termos na forma expandida:
Para ondas de superfície é útil separar o estado de repouso (base hidroestática) e as perturbações de onda. Escreve-se a pressão total como
onde
satisfaz a condição hydrostática
. Ao inserir essa decomposição, o termo
é exatamente o que mantém o equilíbrio hidroestático com
(no vertical
normalmente), de modo que, quando subtrairmos o equilíbrio de base, o termo de gravidade aparece nas equações lineares através de
— ou seja, a gravidade fornece a força restauradora que aparece via perturbação de pressão
.
Passo 5
Agora faço uma análise de escalas simples (ordem de grandeza) adequada para ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento. Introduzo as escalas típicas:
- amplitude vertical da superfície:
(pequeno: ), - comprimento de onda (escala horizontal):
, - frequência angular:
, - velocidade típica das partículas induzidas pela onda:
, - pressão de perturbação associada à elevação:
.
Estimativas das ordens de grandeza dos termos (por componente típica):
- aceleração local:
- termo convectivo (não linear):
- gradiente de pressão (perturbação):
- termo viscoso/turbulento (ordem):
ou, para tensões turbulentas, escala dependente da camada-limite turbulenta.
Compare os termos relevantes dividindo pelo termo de aceleração local
:
- razão não linear / inercial:
Logo, em ondas lineares, o termo convectivo é pequeno frente ao termo local de aceleração e pode ser desprezado na primeira aproximação.
- razão pressão/ inercial:
Igualando pressão e inércia obtém-se a escala de dispersão típica
(com
), ou seja, pressão (restauração gravitacional via
) e inércia estão em balanço — este é o balanço que gera as ondas de gravidade.
- razão viscosidade / inercial:
Em água de oceano típica esse número é muito pequeno para escalas de onda usuais, logo viscosidade molecular é desprezível no corpo do fluido (salvo perto de fronteiras onde há uma camada de cisalhamento).
Passo 6
Interpretação física e papel do vento:
- Para ondas lineares de gravidade, o balanço dominante no interior do fluido (após subtrair o equilíbrio hidroestático de base) é entre a aceleração inercial local e o gradiente de pressão da perturbação:
ou, reescrito incluindo sinal conforme convier,
A gravidade aparece como força restauradora através de
(porque
está ligada à elevação da superfície
por
).
- O termo convectivo
é pequeno (ordem de vezes o termo inercial) e, em primeira aproximação linear, é desprezado. - As tensões viscosas/turbulentas no volumétrico são geralmente pequenas comparadas à inércia para ondas típicas; entretanto, o vento força as ondas através de tensões na interface ar-água (uma condição de contorno): a tensão de cisalhamento imposta pelo vento na superfície e as flutuações de pressão na interface transferem energia e momento para as ondas. Portanto:
- o efeito do vento aparece principalmente como condição de contorno de superfície (forçando crescimento/amplitude das ondas) ou como divergência de tensões turbulentas muito próxima à superfície (camada-limite), não como um termo volumétrico dominante em toda a coluna de água.
- ao incluir efeitos turbulentos médios (Reynolds stresses),
pode ser relevante numa camada de superfície e atuar como fonte de momento, mas não compete com a inércia na maior parte do domínio de ondas lineares.
Passo 7
Resumo prático — quais termos manter na equação linearizada para ondas de gravidade forçadas pelo vento:
- Manter:
(inércia local) e (gradiente de pressão ligado à gravidade). - Desprezar na primeira aproximação:
(não linear convectivo) e (viscosidade molecular) no corpo do fluido. - Incluir o efeito do vento via condição de contorno de superfície (tensão de cisalhamento na interface e/ou pressão superficial), ou modelar sua ação por termos de Reynolds-stress localizados na camada superficial se for preciso representar crescimento/forçamento.
Resposta
Para ondas lineares de gravidade forçadas pelo vento: após subtrair o equilíbrio hidroestático, o termo dominante é o balanço entre a aceleração inercial local e o gradiente de pressão da perturbação,
enquanto o termo convectivo
e as tensões viscosas volumétricas são desprezíveis (
e
menores). O vento aparece principalmente como condição de contorno (tensão de superfície / flutuações de pressão) que fornece o forçamento e crescimento das ondas, e só gera contribuição volumétrica importante muito próxima da superfície via tensões turbulentas.