2.2.2 (Q) Questão
Abre: 22 abril 2025, 21:50 PM
首 Vencimento: 22 abril 2025, 22:30 PM
Um balde encontra-se preenchido até a metade do seu volume com água. Acima da água encontra-se uma camada de óleo ocupando um pouco menos que a metade do volume do balde. Você gentilmente solta uma bolinha maciça de borracha sobre a superfície do óleo. Quando a bolinha alcançar o repouso, onde ela ficará localizada? E qual será a fração do volume da bolinha que ficará envolta no ar, no óleo ou na água? Dica: use a dedução do princípio de Arquimedes para resolver essa questão. Ou seja, substitua o volume ocupado pela bolina pelo(s) fluido(s) separado(s) por uma superfície imaginária para encontrar as forças do fluido sobre a bolinha.
Dados:
l rho água =1000 kg / m^3 rho ó<=o =700 kg / m^3 rho bolinha =900 kg / m^3 áó
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um balde meio cheio de água e, por cima dela, uma camada de óleo que ocupa pouco menos da metade do volume do balde. Você solta uma bolinha de borracha bem macia nessa mistura de óleo e água. A pergunta é: onde a bolinha vai parar quando descansar e qual a fração do volume dela que vai ficar no ar, no óleo e na água? Para resolver isso, vamos usar o Princípio de Arquimedes, que nos ajuda a entender como os corpos se comportam em fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Princípio de Arquimedes. Ele diz que qualquer objeto mergulhado em um fluido sofre uma força de empuxo para cima igual ao peso do fluido que ele desloca. No nosso caso, a bolinha vai deslocar uma combinação de óleo e água, então precisamos calcular quanto de cada fluido está sendo deslocado para equilibrar o peso da bolinha.

Passo 3

Vamos chamar o volume total da bolinha de V . Esse volume vai se dividir em três partes: uma parte na água ( Vágua á), uma parte no óleo ( Vó<=o ó) e uma parte no ar ( Var ). Então, temos:
V = Vágua + Vó<=o + Var áó

Passo 4

Segundo o Princípio de Arquimedes, a força de empuxo total ( Fempuxo ) é a soma das forças de empuxo na água e no óleo:
Fempuxo = rhoágua cdot g cdot Vágua + rhoó<=o cdot g cdot Vó<=o ááóó
Onde:
  • rhoágua = 1000 , kg/m^3 á
  • rhoó<=o = 700 , kg/m^3 ó
  • g é a aceleração da gravidade (que vai se cancelar nas equações, então não precisamos saber seu valor exato aqui)

Passo 5

O peso da bolinha ( Fpeso ) é dado por:
Fpeso = rhobolinha cdot g cdot V
Onde rhobolinha = 900 , kg/m^3 .
Para a bolinha estar em repouso, o empuxo deve equilibrar o peso:
Fempuxo = Fpeso
Então:
rhoágua cdot Vágua + rhoó<=o cdot Vó<=o = rhobolinha cdot V ááóó

Passo 6

Sabendo que V = Vágua + Vó<=o + Var áó, e queremos encontrar a fração de cada parte, vamos dividir toda a equação por V para trabalhar com frações:
rhoágua cdot VáguaV + rhoó<=o cdot Vó<=oV = rhobolinha ááóó
Vamos chamar fágua = VáguaV áá e fó<=o = Vó<=oV óó. Assim, temos:
rhoágua cdot fágua + rhoó<=o cdot fó<=o = rhobolinha ááóó
E como far = 1 - fágua - fó<=o áó, mas como o ar não contribui para o empuxo, podemos focar nas duas primeiras frações.

Passo 7

Agora, temos uma equação com duas incógnitas ( fágua á e fó<=o ó). Mas como o óleo está sobre a água, a bolinha primeiro passa pela camada de óleo antes de atingir a água. Supondo que a bolinha esteja entre óleo e água, podemos assumir que não há parte da bolinha no ar (ou seja, far = 0 ).
Então:
fágua + fó<=o = 1 áó
E nossa equação:
700 cdot fó<=o + 1000 cdot fágua = 900 óá
Com fágua = 1 - fó<=o áó, substituímos na equação:
700 cdot fó<=o + 1000 cdot (1 - fó<=o) = 900 óó

Passo 8

Resolvendo a equação:
700 fó<=o + 1000 - 1000 fó<=o = 900 óó
-300 fó<=o + 1000 = 900 ó
-300 fó<=o = -100 ó
fó<=o = -100-300 = 13 ó
Então, fó<=o = 13 ó e fágua = 1 - 13 = 23 á.

Resposta

A bolinha vai se posicionar entre a camada de óleo e a água. Da bolinha, 13 do seu volume ficará imersa no óleo e 23 no água, sem nenhuma parte no ar.

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