Resolva a equação de Schrodinger para a partícula livre e determine os valores de energia possíveis para o sistema.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger para uma part’{\i}cula livre em uma dimens~{a}o (ou seja,
) e determinar os valores de energia poss’{\i}veis. O conte’{u}do que vamos usar `{e} a separa\c{c}~{a}o de vari’{a}veis na equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger dependente do tempo e a solu\c{c}~{a}o da equa\c{c}~{a}o de autovalor resultante, que `{e} uma EDO de segunda ordem.
Passo 2
Escrevemos primeiro a equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger dependente do tempo para potencial nulo:
Propomos uma separa\c{c}~{a}o de vari’{a}veis da forma
. Substituindo nessa equa\c{c}~{a}o e dividindo por
obtemos
onde
`{e} a constante de separa\c{c}~{a}o, interpretada como energia.
Passo 3
Da parte espacial, surge a equação independente do tempo (equação de autovalor):
Reescrevendo, temos
Passo 4
A solução geral dessa EDO é combinação de ondas planas:
onde
e
são constantes arbitrárias. Em espaço livre não há condições de contorno que quantizem
, logo
pode ser qualquer número real.
Passo 5
Da parte temporal, a equação é
cuja solução é
Portanto a solução completa fica
Passo 6
Como
é real e contínuo, a energia
varia continuamente de
a
. Ou seja, o espectro de energia para partícula livre em toda a reta é contínuo e não quantizado, com valores
.
Resposta
A família de soluções estacionárias é
com
, e o espectro de energia é contínuo