Resolva a equação de Schrodinger para a partícula livre e determine os valores de energia possíveis para o sistema.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger para uma part’{\i}cula livre em uma dimens~{a}o (ou seja, V(x)=0) e determinar os valores de energia poss’{\i}veis. O conte’{u}do que vamos usar `{e} a separa\c{c}~{a}o de vari’{a}veis na equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger dependente do tempo e a solu\c{c}~{a}o da equa\c{c}~{a}o de autovalor resultante, que `{e} uma EDO de segunda ordem.

Passo 2

Escrevemos primeiro a equa\c{c}~{a}o de Schr"{o}dinger dependente do tempo para potencial nulo:
ihbarpartialpsi(x,t)partial t ;=; -hbar^22m,partial^2psi(x,t)partial x^2
Propomos uma separa\c{c}~{a}o de vari’{a}veis da forma psi(x,t)=varphi(x),T(t). Substituindo nessa equa\c{c}~{a}o e dividindo por varphi(x),T(t) obtemos
ihbar1TdTdt ;=; -hbar^22m,1varphid^2varphidx^2 ;=; E,
onde E `{e} a constante de separa\c{c}~{a}o, interpretada como energia.

Passo 3

Da parte espacial, surge a equação independente do tempo (equação de autovalor):
-hbar^22m,d^2varphi(x)dx^2 ;=; E,varphi(x)
Reescrevendo, temos
d^2varphidx^2 + k^2,varphi = 0, com k^2 = 2mEhbar^2

Passo 4

A solução geral dessa EDO é combinação de ondas planas:
varphi(x) = A,e^i k x + B,e^-i k x,
onde A e B são constantes arbitrárias. Em espaço livre não há condições de contorno que quantizem k, logo k pode ser qualquer número real.

Passo 5

Da parte temporal, a equação é
ihbardTdt = E,T,
cuja solução é
T(t) = e^-,ihbarE t
Portanto a solução completa fica
psi(x,t) = l(A,e^i k x + B,e^-i k xr),e^-,ihbarE t

Passo 6

Como k é real e contínuo, a energia
E = hbar^2 k^22m
varia continuamente de 0 a +infty. Ou seja, o espectro de energia para partícula livre em toda a reta é contínuo e não quantizado, com valores E>= 0.

Resposta

A família de soluções estacionárias é
psik(x,t) = l(A,e^i k x + B,e^-i k xr),e^-,tfracihbar k^22mt,
com kinR, e o espectro de energia é contínuo
E = hbar^2 k^22mcom E>= 0

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