Uma superfície gaussiana em forma de cilindro circular reto tem um raio de 12,0 cm e está posicionada entre as placas de um capacitor de placas paralelas que está sendo carregado ou descarregado. Um anel de 0,20 m de raio, concêntrico com o capacitor, está a meio caminho entre as placas. À corrente de deslocamento através do anel é 2.0 A. Qual é à taxa de variação do campo elétrico entre as placas?

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas em processo de carga ou descarga, e pede a taxa de variação do campo elétrico dE/dt entre as placas. Sabemos que uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r=12,0 cm fica completamente entre as placas (logo, o campo elétrico ali é uniforme e perpendicular), e que um anel de raio maior ( 0,20 m) recebeu corrente de deslocamento Id=2,0 A. Para resolver precisamos aplicar a correção de Maxwell à lei de Ampère, que introduz a corrente de deslocamento associada à variação do fluxo elétrico.

Passo 2

A correção de Maxwell à lei de Ampère diz que
oint Bcdot dl ;=;mu0l(Irm cond+varepsilon0dPhiEdtr)
Entre as placas não há corrente de condução, então definimos a corrente de deslocamento
Id ;=;varepsilon0dPhiEdt
Como o campo é uniforme e perpendicular às placas, o fluxo elétrico pela base do cilindro é
PhiE ;=; E;A, A=pi r^2com r=0,12 m

Passo 3

Substituindo em Id:
Id ;=;varepsilon0,A,dEdt Longrightarrow dEdt ;=;Idvarepsilon0,A ;=;Idvarepsilon0,pi r^2
Agora entramos com os valores:
r=0,12 m, varepsilon0=8,85times10^-12 F/m, Id=2,0 A

Passo 4

Calculando o denominador:
pi r^2 = pitimes(0,12)^2approx0,04524 m^2, varepsilon0,pi r^2approx8,85times10^-12times0,04524approx4,00times10^-13
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dEdt =2,04,00times10^-13 approx5,0times10^12 V/mcdot s

Resposta

A taxa de variação do campo elétrico entre as placas é aproximadamente
dEdtapprox5,0times10^12 V,m^-1,s^-1

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