Questão 5: Absorção em Filme Líquido (Geometria Retangular Convecção)
Um fluido desce por uma parede vertical plana formando um filme de espessura delta. Um gás poluente entra em contato com a superfície livre do filme e é absorvido enquanto o fluido escoa em regime laminar. Considere que a difusão do poluente ocorre apenas na direção perpendicular à parede (x) e que o poluente é carregado pelo escoamento na direção z. Despreze a difusão na direção z frente ao transporte por convecção.
Passo 1
Vou listar com cuidado o que o enunciado fornece e o que ele pede — isto ajuda a não me perder (e te dá coragem, vamos lá!).
Informações que o enunciado dá:
Um filme líquido escorre por uma parede vertical plana formando uma camada de espessura \delta.
Um poluente gasoso é absorvido na superfície livre do filme (ou seja, o transporte começa na superfície x=\delta).
O escoamento do filme é laminar e o poluente é carregado pela velocidade no sentido z (para baixo).
A difusão do poluente ocorre somente na direção perpendicular à parede (x). A difusão na direção z é desprezada frente à convecção (portanto axiala: transporte convectivo dominante).
Coordenadas usuais: x medido da parede em direção à superfície livre (logo x=0 parede, x=\delta superfície), z ao longo do escoamento.
O que o enunciado NÃO especifica (informações essenciais para obter uma solução numérica/fechada):
Qual a quantidade pedida: perfil de concentração C(x,z)? fluxo de massa no parede J_w(z)? coeficiente de transferência de massa k ou número de Sherwood? curva ao longo de z? estado estacionário vs transiente?
Condições de contorno claras em x: por exemplo, a concentração na superfície livre C(x=\delta,z) é conhecida e igual a uma constante C_s (equilíbrio com o gás)? a parede é perfeitamente absorvente (C(0,z)=0) ou impermeável (fluxo nulo) ou reage com uma cinética particular?
Condição inicial ao longo de z (por exemplo, em z=0 o filme está limpo: C(x,0)=0?) ou se a situação é buscada no regime em que uma solução autossimilar existe.
Valores das propriedades físicas (viscosidade, densidade, difusividade D, etc.) necessários para resultados numéricos.
Conclusão do Passo 1: não há uma pergunta numérica bem definida no enunciado encaminhado — antes de obter um número final ou uma expressão única, são necessárias as condições de contorno/condição inicial e o que exatamente se pede. A seguir vou apresentar, de forma didática e passo a passo, a formulação matemática padrão do problema, as técnicas típicas de solução (e seus conceitos-chave), e o que obteríamos dependendo das escolhas de contorno. No final digo exatamente quais dados faltam para finalizar com um resultado único.
Passo 2
Formulação física e equação governante (aula grátis e direta).
Hipóteses padrão (aceitas no enunciado):
Escoamento laminar e estacionário do filme (propriedade do escoamento distinta do campo de concentração).
Transporte de massa do poluente descrito por convecção no sentido z e difusão em x apenas. Não há difusão em z (termo desprezível).
Propriedades constantes: difusividade molecular D constante no fluido.
A equação de balanço de massa, sob essas hipóteses e em regime estacionário em \emph{tempo} (mas com variação ao longo de z), é a equação convecção-difusão reduzida:
\,C(x,z)\, é a concentração do poluente no fluido (por exemplo, mol/m^3).
\,u(x)\, é a velocidade na direção z, função só de x (perfil de velocidade do filme).
\,D\, é a difusividade molecular no líquido (m^2/s).
A equação ignora \partial^2 C/\partial z^2 (difusão axial) por hipótese do enunciado.
Explicação física do termo:
O termo u(x)\partial C/\partial z representa o transporte convectivo ao longo de z: cada camada x carrega a sua concentração para baixo.
O termo D\partial^2 C/\partial x^2 representa difusão do poluente em direção à parede (ou para a superfície), equilibrando o aporte convectivo.
Passo 3
Perfil de velocidade do filme laminar — derivação e fórmula que vamos usar.
Para um filme delgado andando sobre uma parede vertical sob ação da gravidade, com condição de não deslizamento na parede (u(0)=0) e condição de superfície livre sem esforço cortante (tensão cortante nula em x=\delta), a solução da equação de Navier–Stokes em regime laminar dá o perfil parabólico clássico. Sem derivar todo o Navier–Stokes aqui (mas explicando passo a passo que dá sempre certo), para placa vertical com aceleração gravitacional g a componente de corpo ativo é \rho g para fluxo vertical; resolvendo equilíbrio viscoso obtém-se:
u(x)\;=\;\frac{\rho g}{2\mu}\;x\,(2\delta - x).
Aqui:
\rho é a densidade do líquido,
\mu a viscosidade dinâmica,
x varia de 0 (parede) até \delta (superfície livre).
Notas didáticas:
Esse perfil é nulo na parede (u(0)=0) e tem derivada nula na superfície (u'(\delta)=0): condição de superfície livre sem cisalhamento.
O valor máximo de u ocorre em x=\delta meio? (na verdade o máximo ocorre em x=\delta se houver outra força; verificação rápida: derivando dá u'(x) = \frac{\rho g}{2\mu} (2\delta - 2x), então zero em x=\delta, logo o máximo é em x=\delta — no entanto u(\delta)=\frac{\rho g}{2\mu}\delta^2). Tudo consistente com as condições.
Passo 4
Condição de contorno típica e transformação útil (como a maioria das provas pede).
As condições de contorno frequentemente usadas neste problema (vou listar as mais comuns; a prova habitual pede derivar solução sob essas) são:
Na superfície livre, o poluente tem concentração conhecida (equilíbrio com o gás): \,C(x=\delta,z)=C_s (constante em z). — se esse for o caso, dizemos que a superfície é uma fonte constante.
Na parede, o poluente é completamente absorvido (por exemplo, reação rápida na parede): \,C(x=0,z)=0. — alternativa: parede impermeável \partial C/\partial x|_{x=0}=0 (não é o caso típico se há absorção).
Condição na entrada z=0: o filme pode ser inicialmente limpo \,C(x,z=0)=0 para todo x (caso clássico de início de absorção ao longo do comprimento).
Com essas condições a equação do Passo 2 fica bem posta. É comum definir a variável de interesse deslocada da superfície:
\Theta(x,z) \;=\; C_s - C(x,z),
assim a superfície livre tem \Theta(\delta,z)=0 e a parede, se absorvente total, tem \Theta(0,z)=C_s. A equação governante mantém a forma linear:
Não dimensionalização — por que fazemos isso e quais números aparecem.
Escolho escalas naturais: \tilde x = x/\delta, \tilde z = z / L onde L é comprimento característico em z a ser definido; escala de concentração \Theta^* = C_s. Substituindo e reagrupando gera o número adimensional chave:
Peclet local baseado numa velocidade característica U_\text{char} (pode-se escolher U_\text{char}=u(\delta)=\rho g \delta^2/(2\mu) ou a velocidade média \bar u). O significado físico:
\text{Pe}_\delta \gg 1 significa que a convecção ao longo de z domina relativamente à difusão axial, então a difusão em x é o mecanismo que controla atravessamento do filme, e a camada de concentração desenvolve-se ao longo de z.
Em problemas de filme geralmente \text{Pe}_\delta é grande (difusão molecular pequena comparada ao transporte convectivo).
A equação adimensional (esquemática) revela que o termo de derivada em z vem multiplicado por \text{Pe}_\delta, e portanto o problema é do tipo parabólico em z (transporte-convecção dominante).
Passo 6
Métodos de solução — explico cada um e indico quando são usados (tipo aula para prova).
Solução exata por separação/eigenfunções (quando possível):
Se u(x) fosse constante (plug flow), a equação reduz a um problema linear com solução do tipo exponencial em z e senos/cossenos em x. Mas com u(x) dependente de x como aqui, a separação simples não funciona diretamente porque a equação é
o operador do lado direito depende de x de forma não separável. Então separação direta não dá uma família simples de autovalores com funções elementares.
Expansão em modos (método de Sturm–Liouville / autovalores):
É possível escrever a solução como soma de modos \Theta(x,z)=\sum_{n} a_n(z)\phi_n(x), onde \phi_n são autovetores de um problema associado na coordenada x. Isso leva a um sistema de ODEs acopladas em z. Em geral dá série com autovalores que precisam ser calculados numericamente (ou tabelados) — abordagem mais formal, usada quando se quer solução “exata” em termos de séries.
Método da camada-limite / Leveque (solução de escala, muito usada em provas):
Quando a difusão é apenas em x e \text{Pe}_\delta é grande, e se o transporte é dominado nas proximidades de uma superfície onde a velocidade pode ser aproximada por um perfil linear (ou seja, perto da interface, u(x) varia linearmente com a distância local), existe uma solução autossimilar do tipo Leveque para o fluxo local. A aproximação de Leveque reduz o problema a uma equação com uma variável de similaridade e produz uma lei do tipo
onde \text{shear} é a taxa de cisalhamento local na superfície \mathrm{d}u/\mathrm{d}x|_{x=\delta}. Em termos do coeficiente de transferência local k(z) = j_w(z)/C_s tem-se k(z)\propto z^{-1/3}. É uma aproximação clássica e extremamente usada quando existe uma fronteira onde o perfil de velocidade pode ser linearizado.
Método integral (método de von Kármán tipo para transporte):
Assume-se uma forma presumida para o perfil de concentração em x (por ex. polinomial) com parâmetros dependentes de z. Integra-se a equação diferencial em x para obter equações ordinárias em z para os parâmetros. Dá soluções aproximadas mas rápidas e fáceis de usar na prova quando não se quer série complicada.
Resumo prático para prova: se pedirem um resultado analítico simples e constante (ex.: coeficiente médio de transferência), o caminho padrão é usar Leveque (ou variação) ou o método integral. Se pedirem um desenvolvimento completo da série, o método de autovalores é o caminho, mas é mais trabalhoso.
Passo 7
Aplicação do método de Leveque (mostro os passos e a fórmula resultante — isso costuma ser o que pedem na prova).
Premissas adicionais para aplicar Leveque:
A camada de concentração é muito mais fina que o filme: \delta_c \ll \delta perto da superfície — logo, perto da interface pode-se aproximar o perfil de velocidade por uma reta: u(x) \approx u(\delta) + (x-\delta) u'(\delta). Como u'(\delta)=0 para superfície livre, a expansão mais útil é feita medindo a distância a partir da superfície interiormente; para problemas onde a superfície é onde está a fonte, a taxa de cisalhamento relevante pode ser a derivada próxima da superfície no fluido adjacente (se a superfície tem cisalhamento não nulo). Para nosso perfil parabólico, é melhor linearizar em relação à distância à superfície interior: definindo y=\delta-x (distância da superfície para dentro do filme), perto da superfície u \approx u(\delta) - u'(\delta)\,y. Aqui temos u'(\delta)=0, então é preciso cuidado: a aproximação linear ao redor da superfície libera uma constante dominante e Leveque tradicional (que assume u\propto y) aplica-se quando há cisalhamento não nulo na superfície (por exemplo escoamento forçado sobre parede). No caso do filme livre com u'(\delta)=0, a aplicação direta de Leveque na superfície livre não é tão direta; contudo, muitos problemas de filme assumem que a fonte está na superfície externa e a camada de concentração se desenvolve em direção à parede onde o cisalhamento existe. Há duas estratégias:
a) aplicar Leveque perto da parede (x\approx 0) usando a aproximação linear do perfil perto da parede: u(x)\approx u'(0)\,x. Aqui u'(0)=\rho g\delta/\mu (obtém-se derivando o perfil), então Leveque é aplicável medindo a distância a partir da parede.
b) usar método integral ou solução numérica para o caso geral.
Resultado (forma funcional típica, para o fluxo na parede x=0, vindo da solução tipo Leveque linearizada perto da parede):
onde A é uma constante numérica que depende do detalhe da solução autossimilar (valores do tipo A\approx 0{,}5 a 1{,}0 aparecem na literatura dependendo da normalização — para um problema análogo de transferência de calor/massa sobre placa plana o valor é 0{,}807 em algumas convenções). Em termos do coeficiente local de transferência k(z)=j_w(z)/C_s:
Isso mostra explicitamente como as propriedades fluidas e geométricas aparecem.
Passo 9
Observações finais e instruções do que você precisa enviar se quiser a solução final completa com números.
Se o objetivo for obter apenas a equação governante e discutir métodos (como provavelmente sua prova pede), então os Passos 2–8 já cobrem a matéria conceitual e os caminhos de solução: derivação da equação, perfil de velocidade do filme, não dimensionalização, introdução do número de Peclet, e aplicação do método de Leveque para estimar fluxo/coeficiente local de transferência. Isso é o que seu professor costuma cobrar: montar o problema e apontar a solução por Leveque ou método integral.
Se você quer a solução explícita do campo C(x,z) em forma de série (modo por modo) ou valores numéricos para j_w(z) ou k (com constantes numéricas), preciso saber as condições de contorno exatas usadas no enunciado da sua prova:
Condição na superfície livre: valor de C(\delta,z) (ex.: C_s constante?) ou lei de partição (Henry)?
Condição na parede: absorvente total (C(0,z)=0) ou outra?
Condição inicial em z (por exemplo C(x,0)=0) e/ou se pretende solução de regime permanente ao longo de comprimentos muito grandes.
Valores numéricos das propriedades D,\rho,\mu,\delta e comprimento típico z se for pedido um número.
Sem essas condições específicas não é possível fornecer um único perfil fechado C(x,z) com constantes determinadas nem um valor numérico para o fluxo.
Resposta
Não é possível fornecer uma solução numérica única ou um perfil fechado final porque o enunciado não especifica as condições de contorno (por exemplo C na superfície livre e na parede) nem a condição inicial/objetivo exato. Com as condições de contorno típicas (por exemplo C(\delta,z)=C_s constante e C(0,z)=0) e assumindo escoamento laminar estacionário, a equação governante é u(x)\partial C/\partial z = D\partial^2 C/\partial x^2 com u(x)=\dfrac{\rho g}{2\mu}x(2\delta-x), e o coeficiente local de transferência na parede segue a lei de potência do tipo k(z)\propto D^{2/3}(\rho g\delta/\mu)^{1/3}z^{-1/3} (aproximação de Leveque).