Questão 3: Vazamento em Duto (Geometria Cilíndrica)

Um duto cilíndrico transportando gás natural está enterrado em solo poroso. Ocorreu uma microfissura que libera gás (A) para o solo de forma constante. O solo é tratado como um meio infinito e estagnado. Modele o perfil de concentração do gás no solo a partir da parede externa do duto ®, considerando que a concentração de gás a uma distância muito grande do duto é nula.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (listei e deixei claro):
  • Pedido: modelar o perfil de concentração do gás no solo em função da distância radial r a partir da parede externa do duto (isto é, encontrar c(r) para r\ge R).
  • Dados / hipóteses implícitas (vou explicitar porque são necessárias para modelar):
    • O duto é cilíndrico com raio externo R.
    • A microfissura libera gás com taxa constante A. Vou usar A como taxa de liberação por unidade de comprimento do duto (unidade: massa·tempo{-1}·comprimento{-1}), que é a interpretação natural quando o problema é 2D (por unidade de comprimento ao longo do eixo do duto).
    • O solo é um meio homogêneo, isotrópico e estagnado (ou seja, não há advecção macroscópica do gás; só há difusão molecular/sorção descrita por um coeficiente de difusão efetivo).
    • Estado estacionário (perfil de concentração não muda no tempo).
    • A uma distância muito grande do duto a concentração é nula: c(r\to\infty)=0. (Vou discutir a implicação matemática deste ponto mais adiante.)
    • Denoto por D o coeficiente de difusão efetivo do gás no solo (unidade: comprimento{2}·tempo{-1}). Este parâmetro é necessário para relacionar gradiente de concentração com fluxo (Lei de Fick).

Passo 2

Escrevendo as leis físicas e a equação governante (aulas rápidas no caminho).
  • Conservação de massa (estado estacionário, sem fontes volumétricas no solo): a divergência do fluxo é zero:
\nabla\cdot\mathbf{J}=0.
  • Lei de Fick (fluxo diffusive): o vetor fluxo é proporcional ao gradiente de concentração:
\mathbf{J} = -D\,\nabla c.
Significado das variáveis:
  • c(r): concentração do gás no solo (por exemplo, massa por volume).
  • \mathbf{J}: fluxo de massa por área (unidade: massa·tempo{-1}·área{-1}).
  • D: coeficiente de difusão efetivo do gás no meio poroso.
  • Como o problema tem simetria cilíndrica em torno do eixo do duto e é independente do ângulo \theta e do eixo z (assumo por unidade de comprimento), só resta a dependência radial r. Em coordenadas cilíndricas com simetria radial, a equação \nabla\cdot\mathbf{J}=0 vira:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\bigl(r J_r\bigr)=0,
onde J_r é a componente radial do fluxo.

Passo 3

Relacionando o fluxo radial com a concentração e integrando a equação diferencial.
  • Usando J_r=-D\,\dfrac{dc}{dr}, substituo na equação de conservação:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Bigl(r\bigl(-D\,\frac{dc}{dr}\bigr)\Bigr)=0.
Como D é constante (hipótese), isso simplifica para
\frac{d}{dr}\Bigl(r\frac{dc}{dr}\Bigr)=0.
  • Integro uma vez em r:
r\frac{dc}{dr}=C_1,
onde C_1 é constante de integração. Isolando o gradiente:
\frac{dc}{dr}=\frac{C_1}{r}.
  • Integro novamente para obter c(r):
c(r)=C_1\ln r + C_2,
com C_2 outra constante de integração.

Passo 4

Impondo a condição de fluxo total correspondente à taxa de liberação A.
  • A expressão geral c(r)=C_1\ln r + C_2 contém constantes que devem ser determinadas por condições de contorno físicas. Em problemas de fonte de linha (por unidade de comprimento) é mais natural usar a condição de fluxo total atravessando um cilindro de raio r.
  • O fluxo total (por unidade de comprimento) atravessando uma circunferência de raio r é
\Phi(r)=\int_{0}^{2\pi} J_r(r)\,r\,d\theta = 2\pi r J_r(r).
Como não há geração no solo para r>R, esse fluxo total é independente de r e igual à taxa de liberação A (positiva no sentido para fora). Assim:
2\pi r J_r = A.
  • Substituindo J_r=-D\,dc/dr:
2\pi r \bigl(-D\,\frac{dc}{dr}\bigr)=A.
  • Isolando o gradiente:
\frac{dc}{dr}=-\frac{A}{2\pi D}\cdot\frac{1}{r}.
Observação: esse resultado dá o mesmo comportamento logarítmico que obtivemos antes; identificamos C_1=-\dfrac{A}{2\pi D}.

Passo 5

Integrando com a condição de fluxo e escrevendo a solução geral física.
  • Integrando \dfrac{dc}{dr}=-\dfrac{A}{2\pi D}\dfrac{1}{r} obtemos:
c(r)=-\frac{A}{2\pi D}\ln r + C,
onde C é constante determinada por uma condição adicional.

Passo 6

Aplicando a condição na “distância muito grande” e discutindo um ponto importante (quando aparece em provas, atenção!).
  • O enunciado diz: a concentração a uma distância muito grande do duto é nula, isto é, c(r\to\infty)=0.
  • Se eu fizer c(r\to\infty)=0 diretamente na forma acima, vejo que \ln r\to\infty quando r\to\infty. Isso implica que a constante C teria que ser infinita para compensar — coisa que não vale fisicamente. Conclusão importante (frequentemente pedida em provas): uma fonte de linha em domínio bidimensional gera um decaimento logarítmico que não vai a zero no infinito; portanto a condição c(\infty)=0 rigorosa é incompatível com uma fonte de linha isolada em domínio infinito. Em termos práticos, isso significa que:
    • ou o domínio é efetivamente finito (ex.: existe um raio R_\infty onde c pode ser desprezível ou fixado em zero por algum processo),
    • ou a taxa A representa algo distribuído ao longo do eixo (tridimensionalização) — mas aqui assumimos problema 2D por unidade de comprimento,
    • ou existe troca/removal adicional que impede o crescimento logarítmico ao infinito.
  • A forma usual e útil de contornar isso em modelagem é introduzir um “raio de referência” grande R_\infty tal que c(R_\infty)=0. Esse R_\infty representa a distância “muito grande” do enunciado (pode ser a distância ao lençol freático, fronteira do domínio, ou distância onde a concentração é negligível).

Passo 7

Escrevendo a solução final prática (duas formas que costumam aparecer em provas).
  • Se adotar a condição c(R_\infty)=0 com R_\infty grande, imponho isso na solução e obtenho:
0 = c(R_\infty) = -\frac{A}{2\pi D}\ln R_\infty + C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{A}{2\pi D}\ln R_\infty.
Logo a concentração para r\in[R,R_\infty] é
\boxed{\,c(r)=\frac{A}{2\pi D}\,\ln\!\biggl(\frac{R_\infty}{r}\biggr)\,.}
Essa expressão respeita c(R_\infty)=0 e decresce logaritmicamente para valores maiores de r.
  • Alternativamente, se na prova der ou pedir a concentração conhecida na parede do duto c(R)=c_R (condição de Dirichlet na superfície), usa-se essa condição para eliminar C. Impondo c(R)=c_R na forma integrada:
c_R = -\frac{A}{2\pi D}\ln R + C \quad\Rightarrow\quad C = c_R + \frac{A}{2\pi D}\ln R,
o que leva à forma equivalente útil
\boxed{\,c(r)=c_R - \frac{A}{2\pi D}\ln\!\biggl(\frac{r}{R}\biggr)\,.}
Essa forma é prático para cálculos: conhece-se c_R e quer-se c(r) em qualquer r.

Passo 8

Interpretação física breve, unidades e dica de prova (motivação e como usar).
  • Interpretação: a concentração diminui lentamente (logaritmicamente) com r. Em 2D (fonte em linha) o decaimento é lento — por isso a condição c(\infty)=0 é problemática sem um referencial R_\infty.
  • Verificação dimensional (cheque rápido): A/(2\pi D) tem dimensão de concentração porque A tem dimensão massa·tempo{-1}·comprimento{-1}, divide-se por D (comprimento{2}·tempo{-1}) e pelo fator adimensional 2\pi, restando massa·volume^{-1} (ou concentração). Assim faz sentido.
  • Dica para prova: descreva claramente a hipótese de unidade por comprimento (o que faz o problema 2D). Se o enunciado deixa ambíguo, explique que você assume A por unidade de comprimento e justifique. Sempre comente sobre a incompatibilidade estrita de um line source isolado com c(\infty)=0 e introduza R_\infty se necessário — isso demonstra entendimento e costuma garantir crédito parcial/muito na prova.

Resposta

c(r)=\frac{A}{2\pi D}\,\ln\!\biggl(\frac{R_\infty}{r}\biggr)
c(r)=c_R-\frac{A}{2\pi D}\,\ln\!\biggl(\frac{r}{R}\biggr)

Exercícios relacionados