Questão 3: Vazamento em Duto (Geometria Cilíndrica)
Um duto cilíndrico transportando gás natural está enterrado em solo poroso. Ocorreu uma microfissura que libera gás (A) para o solo de forma constante. O solo é tratado como um meio infinito e estagnado. Modele o perfil de concentração do gás no solo a partir da parede externa do duto ®, considerando que a concentração de gás a uma distância muito grande do duto é nula.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado (listei e deixei claro):
- Pedido: modelar o perfil de concentração do gás no solo em função da distância radial
a partir da parede externa do duto (isto é, encontrar para ). - Dados / hipóteses implícitas (vou explicitar porque são necessárias para modelar):
- O duto é cilíndrico com raio externo
. - A microfissura libera gás com taxa constante
. Vou usar como taxa de liberação por unidade de comprimento do duto (unidade: massa·tempo{-1}·comprimento{-1}), que é a interpretação natural quando o problema é 2D (por unidade de comprimento ao longo do eixo do duto). - O solo é um meio homogêneo, isotrópico e estagnado (ou seja, não há advecção macroscópica do gás; só há difusão molecular/sorção descrita por um coeficiente de difusão efetivo).
- Estado estacionário (perfil de concentração não muda no tempo).
- A uma distância muito grande do duto a concentração é nula:
. (Vou discutir a implicação matemática deste ponto mais adiante.) - Denoto por
o coeficiente de difusão efetivo do gás no solo (unidade: comprimento{2}·tempo{-1}). Este parâmetro é necessário para relacionar gradiente de concentração com fluxo (Lei de Fick).
- O duto é cilíndrico com raio externo
Passo 2
Escrevendo as leis físicas e a equação governante (aulas rápidas no caminho).
- Conservação de massa (estado estacionário, sem fontes volumétricas no solo): a divergência do fluxo é zero:
- Lei de Fick (fluxo diffusive): o vetor fluxo é proporcional ao gradiente de concentração:
Significado das variáveis:
-
: concentração do gás no solo (por exemplo, massa por volume). -
: fluxo de massa por área (unidade: massa·tempo{-1}·área{-1}). -
: coeficiente de difusão efetivo do gás no meio poroso. -
Como o problema tem simetria cilíndrica em torno do eixo do duto e é independente do ângulo
e do eixo (assumo por unidade de comprimento), só resta a dependência radial . Em coordenadas cilíndricas com simetria radial, a equação vira:
onde
é a componente radial do fluxo.
Passo 3
Relacionando o fluxo radial com a concentração e integrando a equação diferencial.
- Usando
, substituo na equação de conservação:
Como
é constante (hipótese), isso simplifica para
- Integro uma vez em
:
onde
é constante de integração. Isolando o gradiente:
- Integro novamente para obter
:
com
outra constante de integração.
Passo 4
Impondo a condição de fluxo total correspondente à taxa de liberação
.
- A expressão geral
contém constantes que devem ser determinadas por condições de contorno físicas. Em problemas de fonte de linha (por unidade de comprimento) é mais natural usar a condição de fluxo total atravessando um cilindro de raio . - O fluxo total (por unidade de comprimento) atravessando uma circunferência de raio
é
Como não há geração no solo para
, esse fluxo total é independente de
e igual à taxa de liberação
(positiva no sentido para fora). Assim:
- Substituindo
:
- Isolando o gradiente:
Observação: esse resultado dá o mesmo comportamento logarítmico que obtivemos antes; identificamos
.
Passo 5
Integrando com a condição de fluxo e escrevendo a solução geral física.
- Integrando
obtemos:
onde
é constante determinada por uma condição adicional.
Passo 6
Aplicando a condição na “distância muito grande” e discutindo um ponto importante (quando aparece em provas, atenção!).
- O enunciado diz: a concentração a uma distância muito grande do duto é nula, isto é,
. - Se eu fizer
diretamente na forma acima, vejo que quando . Isso implica que a constante teria que ser infinita para compensar — coisa que não vale fisicamente. Conclusão importante (frequentemente pedida em provas): uma fonte de linha em domínio bidimensional gera um decaimento logarítmico que não vai a zero no infinito; portanto a condição rigorosa é incompatível com uma fonte de linha isolada em domínio infinito. Em termos práticos, isso significa que: - ou o domínio é efetivamente finito (ex.: existe um raio
onde pode ser desprezível ou fixado em zero por algum processo), - ou a taxa
representa algo distribuído ao longo do eixo (tridimensionalização) — mas aqui assumimos problema 2D por unidade de comprimento, - ou existe troca/removal adicional que impede o crescimento logarítmico ao infinito.
- ou o domínio é efetivamente finito (ex.: existe um raio
- A forma usual e útil de contornar isso em modelagem é introduzir um “raio de referência” grande
tal que . Esse representa a distância “muito grande” do enunciado (pode ser a distância ao lençol freático, fronteira do domínio, ou distância onde a concentração é negligível).
Passo 7
Escrevendo a solução final prática (duas formas que costumam aparecer em provas).
- Se adotar a condição
com grande, imponho isso na solução e obtenho:
Logo a concentração para
é
Essa expressão respeita
e decresce logaritmicamente para valores maiores de
.
- Alternativamente, se na prova der ou pedir a concentração conhecida na parede do duto
(condição de Dirichlet na superfície), usa-se essa condição para eliminar . Impondo na forma integrada:
o que leva à forma equivalente útil
Essa forma é prático para cálculos: conhece-se
e quer-se
em qualquer
.
Passo 8
Interpretação física breve, unidades e dica de prova (motivação e como usar).
- Interpretação: a concentração diminui lentamente (logaritmicamente) com
. Em 2D (fonte em linha) o decaimento é lento — por isso a condição é problemática sem um referencial . - Verificação dimensional (cheque rápido):
tem dimensão de concentração porque tem dimensão massa·tempo{-1}·comprimento{-1}, divide-se por (comprimento{2}·tempo{-1}) e pelo fator adimensional , restando massa·volume^{-1} (ou concentração). Assim faz sentido. - Dica para prova: descreva claramente a hipótese de unidade por comprimento (o que faz o problema 2D). Se o enunciado deixa ambíguo, explique que você assume
por unidade de comprimento e justifique. Sempre comente sobre a incompatibilidade estrita de um line source isolado com e introduza se necessário — isso demonstra entendimento e costuma garantir crédito parcial/muito na prova.