Questão 7: Placa de Resfriamento (Bidimensional - Retangular)

Uma placa de gel de sílica retangular (altura H e largura W) está saturada com um soluto A. Ela é exposta a um fluxo de ar em todos os seus quatro lados laterais. Devido às dimensões da placa, a difusão ocorre tanto na direção x quanto na direção y simultaneamente. Considere o processo transiente e sem geração interna. Defina a equação governante e as quatro condições de contorno necessárias para as faces.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Placa retangular nas direções x e y, com 0 \le x \le W e 0 \le y \le H.
  • A placa está saturada com um soluto A.
  • A difusão ocorre nas duas direções (bidimensional) e o processo é transiente.
  • Não há geração interna de soluto.
  • Todas as quatro faces laterais da placa estão expostas a um fluxo de ar (ou seja, há trocas com o gás ao longo de cada face).
O que é pedido:
  • Definir a equação governante (PDE) para C(x,y,t), a concentração do soluto.
  • Escrever as quatro condições de contorno apropriadas para as quatro faces da placa (mais a condição inicial necessária para o problema transiente).

Passo 2

Variáveis e ideia física (sem pular etapas).
Defina C(x,y,t) como a concentração do soluto A dentro da placa, em \text{[mol/m}^3] ou unidade similar; t é o tempo; D é o coeficiente de difusão efetivo dentro da placa (assumido constante e isotrópico).
Conservação de massa local (taxa de acúmulo = fluxo divergente + fontes). Como não há geração interna, em forma diferencial a conservação é
\frac{\partial C}{\partial t} = -\nabla\cdot \mathbf{j},
onde \mathbf{j} é o vetor fluxo de massa do soluto (unidade: \text{mol}/(\text{m}^2\cdot\text{s})). Expliquei o que cada termo significa: \partial C/\partial t é a taxa de variação local da concentração e -\nabla\cdot\mathbf{j} é a perda/ganho por difusão.

Passo 3

Lei constitutiva (Fick). A relação que liga fluxo e gradiente de concentração é a Lei de Fick (primeira lei):
\mathbf{j} = -D\,\nabla C.
Aqui \nabla C = \big(\partial C/\partial x,\;\partial C/\partial y\big). A hipótese de D constante e isotrópico simplifica a expressão e é razoável para muitos problemas de placa homogênea.

Passo 4

Substituindo \mathbf{j} na conservação obtemos a equação de difusão transiente bidimensional (Fick segunda lei). Fazendo -\nabla\cdot(-D\nabla C)=D\nabla^2 C, obtemos
\frac{\partial C}{\partial t} = D\left(\frac{\partial^2 C}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 C}{\partial y^2}\right),
válida em \;0<x<W,\;0<y<H,\;t>0.
Vou explicitar o que cada símbolo significa para você poder usar isso na prova:
  • \partial C/\partial t: variação temporal da concentração no ponto (x,y).
  • D: coeficiente de difusão (constante).
  • \partial^2 C/\partial x^2 e \partial^2 C/\partial y^2: curvaturas da distribuição de concentração nas direções x e y.

Passo 5

Condição inicial (necessária para problema transiente). Sempre que se resolve uma PDE transiente é preciso informar o estado inicial. O enunciado diz “saturada” — normalmente isso significa concentração inicial uniforme. Assim a condição inicial geral é
C(x,y,0)=C_0(x,y).
Na hipótese mais simples (saturada uniformemente),
C(x,y,0)=C_0 \quad\text{(constante)}.
Expliquei para que serve: esse dado fixa a distribuição inicial de soluto antes de começar a troca com o ar.

Passo 6

Condição de contorno física para faces expostas ao ar. Quando a superfície está em contato com um fluxo de ar, a troca de massa entre a superfície sólida e o ar é normalmente modelada por uma condição convectiva (convecção de massa / lei de Newton para massa). Em forma vetorial, iguala-se o fluxo difusivo normal na superfície à taxa de transporte para o ar:
- D\,\nabla C\cdot\mathbf{n} = k_c\big(C_{\text{surf}} - C_\infty\big),
onde:
  • \mathbf{n} é o vetor normal unitário para fora do domínio da placa,
  • k_c é o coeficiente de transferência de massa (unidade: \text{m}/\text{s} ou equivalente),
  • C_{\infty} é a concentração do soluto no ar distante (bulk do ar),
  • C_{\text{surf}} denota a concentração na superfície (isto é, C avaliada na face).
Essa equação diz que o fluxo difusivo que sai da placa na norma é igual ao fluxo convectivo para o ar.

Passo 7

Escrever explicitamente as quatro condições de contorno nas faces da placa, usando as normais padrão (para fora do domínio [0,W]\times[0,H]):
  • Face x=0: normal para fora \mathbf{n}=(-1,0). Substituindo \nabla C\cdot\mathbf{n}=-\dfrac{\partial C}{\partial x} na condição convectiva, obtemos
D\frac{\partial C}{\partial x}\Big|_{x=0} = k_c\big(C(0,y,t)-C_\infty\big),\qquad 0\le y\le H,\;t>0.
  • Face x=W: normal \mathbf{n}=(1,0). Então \nabla C\cdot\mathbf{n}=\dfrac{\partial C}{\partial x} e a condição é
-\,D\frac{\partial C}{\partial x}\Big|_{x=W} = k_c\big(C(W,y,t)-C_\infty\big),\qquad 0\le y\le H,\;t>0.
  • Face y=0: normal \mathbf{n}=(0,-1). Assim \nabla C\cdot\mathbf{n}=-\dfrac{\partial C}{\partial y} e
D\frac{\partial C}{\partial y}\Big|_{y=0} = k_c\big(C(x,0,t)-C_\infty\big),\qquad 0\le x\le W,\;t>0.
  • Face y=H: normal \mathbf{n}=(0,1). Então \nabla C\cdot\mathbf{n}=\dfrac{\partial C}{\partial y} e
-\,D\frac{\partial C}{\partial y}\Big|_{y=H} = k_c\big(C(x,H,t)-C_\infty\big),\qquad 0\le x\le W,\;t>0.
Observação prática que ajuda na prova: esses quatro contornos têm a mesma forma física; apenas o sinal no termo de derivada muda de acordo com a direção do normal. Também lembre as duas limites úteis:
  • Se k_c=0 a face é adiabática em massa (fluxo zero), i.e. Neumann homogênea.
  • Se k_c\to\infty a superfície fica instantaneamente em equilíbrio com o ar e \;C_{\text{surf}}=C_\infty\; (condição de Dirichlet).

Resposta

\frac{\partial C}{\partial t} = D\left(\frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} C}{\partial y^{2}}\right),\qquad 0<x<W,\;0<y<H,\;t>0
C(x,y,0)=C_0(x,y)\quad\text{(por exemplo }C_0=\text{const. se saturada uniformemente)}
D\frac{\partial C}{\partial x}\Big|_{x=0} = k_c\big(C(0,y,t)-C_\infty\big),\qquad 0\le y\le H,\;t>0
-\,D\frac{\partial C}{\partial x}\Big|_{x=W} = k_c\big(C(W,y,t)-C_\infty\big),\qquad 0\le y\le H,\;t>0
D\frac{\partial C}{\partial y}\Big|_{y=0} = k_c\big(C(x,0,t)-C_\infty\big),\qquad 0\le x\le W,\;t>0
-\,D\frac{\partial C}{\partial y}\Big|_{y=H} = k_c\big(C(x,H,t)-C_\infty\big),\qquad 0\le x\le W,\;t>0

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