Questão 7: Placa de Resfriamento (Bidimensional - Retangular)
Uma placa de gel de sílica retangular (altura H e largura W) está saturada com um soluto A. Ela é exposta a um fluxo de ar em todos os seus quatro lados laterais. Devido às dimensões da placa, a difusão ocorre tanto na direção x quanto na direção y simultaneamente. Considere o processo transiente e sem geração interna. Defina a equação governante e as quatro condições de contorno necessárias para as faces.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Placa retangular nas direções
e , com e . - A placa está saturada com um soluto
. - A difusão ocorre nas duas direções (bidimensional) e o processo é transiente.
- Não há geração interna de soluto.
- Todas as quatro faces laterais da placa estão expostas a um fluxo de ar (ou seja, há trocas com o gás ao longo de cada face).
O que é pedido:
- Definir a equação governante (PDE) para
, a concentração do soluto. - Escrever as quatro condições de contorno apropriadas para as quatro faces da placa (mais a condição inicial necessária para o problema transiente).
Passo 2
Variáveis e ideia física (sem pular etapas).
Defina como a concentração do soluto
dentro da placa, em
ou unidade similar;
é o tempo;
é o coeficiente de difusão efetivo dentro da placa (assumido constante e isotrópico).
Conservação de massa local (taxa de acúmulo = fluxo divergente + fontes). Como não há geração interna, em forma diferencial a conservação é
Defina
Conservação de massa local (taxa de acúmulo = fluxo divergente + fontes). Como não há geração interna, em forma diferencial a conservação é
onde
é o vetor fluxo de massa do soluto (unidade:
). Expliquei o que cada termo significa:
é a taxa de variação local da concentração e
é a perda/ganho por difusão.
Passo 3
Lei constitutiva (Fick). A relação que liga fluxo e gradiente de concentração é a Lei de Fick (primeira lei):
Aqui
. A hipótese de
constante e isotrópico simplifica a expressão e é razoável para muitos problemas de placa homogênea.
Passo 4
Substituindo
na conservação obtemos a equação de difusão transiente bidimensional (Fick segunda lei). Fazendo
, obtemos
válida em
Vou explicitar o que cada símbolo significa para você poder usar isso na prova:
-
: variação temporal da concentração no ponto . -
: coeficiente de difusão (constante). -
e : curvaturas da distribuição de concentração nas direções e .
Passo 5
Condição inicial (necessária para problema transiente). Sempre que se resolve uma PDE transiente é preciso informar o estado inicial. O enunciado diz “saturada” — normalmente isso significa concentração inicial uniforme. Assim a condição inicial geral é
Na hipótese mais simples (saturada uniformemente),
Expliquei para que serve: esse dado fixa a distribuição inicial de soluto antes de começar a troca com o ar.
Passo 6
Condição de contorno física para faces expostas ao ar. Quando a superfície está em contato com um fluxo de ar, a troca de massa entre a superfície sólida e o ar é normalmente modelada por uma condição convectiva (convecção de massa / lei de Newton para massa). Em forma vetorial, iguala-se o fluxo difusivo normal na superfície à taxa de transporte para o ar:
onde:
-
é o vetor normal unitário para fora do domínio da placa, -
é o coeficiente de transferência de massa (unidade: ou equivalente), -
é a concentração do soluto no ar distante (bulk do ar), -
denota a concentração na superfície (isto é, avaliada na face).
Essa equação diz que o fluxo difusivo que sai da placa na norma é igual ao fluxo convectivo para o ar.
Passo 7
Escrever explicitamente as quatro condições de contorno nas faces da placa, usando as normais padrão (para fora do domínio
):
- Face
: normal para fora . Substituindo na condição convectiva, obtemos
- Face
: normal . Então e a condição é
- Face
: normal . Assim e
- Face
: normal . Então e
Observação prática que ajuda na prova: esses quatro contornos têm a mesma forma física; apenas o sinal no termo de derivada muda de acordo com a direção do normal. Também lembre as duas limites úteis:
- Se
a face é adiabática em massa (fluxo zero), i.e. Neumann homogênea. - Se
a superfície fica instantaneamente em equilíbrio com o ar e (condição de Dirichlet).