Questāo 3
Achar o angulo entre o plano
e a reta
.
Achar o angulo entre o plano
Passo 1
O enunciado dá o plano
e a reta
que passa por
com direção
(escrita parametricamente como
).
O que se pede: achar o ângulo entre a reta e o plano
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que se pede: achar o ângulo entre a reta
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação do plano é
. - A reta tem vetor diretor
(peguei esse dado da expressão dada para a reta). - Da equação do plano posso extrair o vetor normal
(peguei os coeficientes de na equação do plano).
Passo 2
Entendimento do conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- O ângulo
entre uma reta e um plano é o complemento do ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Ou seja, . - Se
é o ângulo entre os vetores e , então a definição do produto escalar diz que
O valor absoluto serve para garantir que tomamos o ângulo agudo entre vetores (ângulo entre
e
).
- Como
, temos . Portanto a fórmula prática que usaremos é
Essa fórmula é muito útil na prova: calcula diretamente o seno do ângulo entre a reta e o plano usando produto escalar e normas.
Passo 3
Identificar explicitamente os vetores envolvidos (já mencionados no Passo 1, mas agora deixamos prontos para cálculo):
- Vetor diretor da reta:
- Vetor normal do plano (coeficientes de
na equação do plano):
Passo 4
Calcular o produto escalar
(explicando o procedimento):
O produto escalar de dois vetores e
é
. Aplicando:
O produto escalar de dois vetores
Passo 5
Calcular as normas
e
(lembrando que a norma de
é
):
Passo 6
Usar a fórmula do Passo 2 para achar
e simplificar algebraicamente passo a passo:
Simplificando:
Racionalizando (multiplicando topo e fundo por
):
Passo 7
Determinar o ângulo
a partir de
:
O valor de referência sabido é . Portanto
O valor de referência sabido é
ou em radianos
. Isso corresponde ao ângulo entre a reta e o plano (entre
e
).