Questāo 3
Achar o angulo entre o plano x-2 y+z=1 e a reta (r): P=(1,1,1),+\lambda(4,-3,5).

Passo 1

O enunciado dá o plano x-2y+z=1 e a reta (r) que passa por P=(1,1,1) com direção (4,-3,5) (escrita parametricamente como P+\lambda(4,-3,5)).
O que se pede: achar o ângulo entre a reta (r) e o plano x-2y+z=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação do plano é x-2y+z=1.
  • A reta tem vetor diretor \mathbf{v}=(4,-3,5) (peguei esse dado da expressão +\lambda(4,-3,5) dada para a reta).
  • Da equação do plano posso extrair o vetor normal \mathbf{n}=(1,-2,1) (peguei os coeficientes de x,y,z na equação do plano).

Passo 2

Entendimento do conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O ângulo \alpha entre uma reta e um plano é o complemento do ângulo \varphi entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Ou seja, \alpha = 90^\circ - \varphi.
  • Se \varphi é o ângulo entre os vetores \mathbf{v} e \mathbf{n}, então a definição do produto escalar diz que
\cos\varphi = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
O valor absoluto serve para garantir que tomamos o ângulo agudo entre vetores (ângulo entre 0^\circ e 180^\circ).
  • Como \alpha = 90^\circ - \varphi, temos \sin\alpha = \cos\varphi. Portanto a fórmula prática que usaremos é
\sin\alpha = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
Essa fórmula é muito útil na prova: calcula diretamente o seno do ângulo entre a reta e o plano usando produto escalar e normas.

Passo 3

Identificar explicitamente os vetores envolvidos (já mencionados no Passo 1, mas agora deixamos prontos para cálculo):
  • Vetor diretor da reta:
\mathbf{v} = (4,-3,5).
  • Vetor normal do plano (coeficientes de x,y,z na equação do plano):
\mathbf{n} = (1,-2,1).

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} (explicando o procedimento):
O produto escalar de dois vetores (a,b,c) e (d,e,f) é a d + b e + c f. Aplicando:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 4\cdot1 + (-3)\cdot(-2) + 5\cdot1 = 4 + 6 + 5 = 15.

Passo 5

Calcular as normas \|\mathbf{v}\| e \|\mathbf{n}\| (lembrando que a norma de (a,b,c) é \sqrt{a^2+b^2+c^2}):
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16+9+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}.

Passo 6

Usar a fórmula do Passo 2 para achar \sin\alpha e simplificar algebraicamente passo a passo:
\sin\alpha = \frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|} = \frac{15}{(5\sqrt{2})\sqrt{6}}.
Simplificando:
\sin\alpha = \frac{15}{5\sqrt{12}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}.
Racionalizando (multiplicando topo e fundo por \sqrt{3}):
\sin\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Determinar o ângulo \alpha a partir de \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}:
O valor de referência sabido é \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\alpha = 60^\circ,
ou em radianos \alpha = \frac{\pi}{3}. Isso corresponde ao ângulo entre a reta e o plano (entre 0^\circ e 90^\circ).

Resposta

\displaystyle 60^\circ
\displaystyle \frac{\pi}{3}

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