Ache a dimensão dos subespaços de \mathbb{R}^{4} gerados pelos vetores: (1,0,0,1),(0,1,0,0),(1,1,1,1) e(0,1,1,1)
Passo 1
O enunciado pede: "Ache a dimensão dos subespaços de \mathbb{R}^{4} gerados pelos vetores (1,0,0,1),\;(0,1,0,0),\;(1,1,1,1) e (0,1,1,1)".\n
Dados relevantes (os vetores fornecidos):
A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3,v_4\}, isto é, \dim(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}).
Passo 2
O que significa “achar a dimensão do subespaço gerado”? Vou te explicar devagar e com carinho. \n
A “span” (ou gerador) de \{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k com escalares \alpha_i. Esse conjunto é um subespaço de \mathbb{R}^4.\n
A dimensão desse subespaço é o número máximo de vetores linearmente independentes dentro do conjunto dado — também chamado de posto (rank) do conjunto. \n
Uma forma prática de descobrir esse número é montar uma matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores dados e levar a matriz à forma escalonada por linhas (eliminação de Gauss). O número de linhas não nulas (ou pivôs) na forma escalonada é justamente a dimensão do subespaço gerado. \n
Vou usar esse procedimento porque é sistemático e funciona bem aqui.
Passo 3
Montamos a matriz cujas linhas são v_1,v_2,v_3,v_4:
Interpretação do resultado: na forma escalonada obtivemos quatro linhas com pivô (nenhuma linha nula). Isso significa que as quatro linhas iniciais são linearmente independentes. Consequentemente, o espaço gerado por \{v_1,v_2,v_3,v_4\} tem dimensão 4. Em palavras mais amigáveis: esses quatro vetores formam uma base de \mathbb{R}^4, então geram todo \mathbb{R}^4.