Ache a dimensão dos subespaços de \mathbb{R}^{4} gerados pelos vetores:
(1,0,0,1),(0,1,0,0),(1,1,1,1) e(0,1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede: "Ache a dimensão dos subespaços de \mathbb{R}^{4} gerados pelos vetores (1,0,0,1),\;(0,1,0,0),\;(1,1,1,1) e (0,1,1,1)".\n
Dados relevantes (os vetores fornecidos):
v_1=(1,0,0,1),\qquad v_2=(0,1,0,0),\qquad v_3=(1,1,1,1),\qquad v_4=(0,1,1,1).
A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3,v_4\}, isto é, \dim(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}).

Passo 2

O que significa “achar a dimensão do subespaço gerado”? Vou te explicar devagar e com carinho. \n
  • A “span” (ou gerador) de \{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k com escalares \alpha_i. Esse conjunto é um subespaço de \mathbb{R}^4.\n
  • A dimensão desse subespaço é o número máximo de vetores linearmente independentes dentro do conjunto dado — também chamado de posto (rank) do conjunto. \n
  • Uma forma prática de descobrir esse número é montar uma matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores dados e levar a matriz à forma escalonada por linhas (eliminação de Gauss). O número de linhas não nulas (ou pivôs) na forma escalonada é justamente a dimensão do subespaço gerado. \n
    Vou usar esse procedimento porque é sistemático e funciona bem aqui.

Passo 3

Montamos a matriz cujas linhas são v_1,v_2,v_3,v_4:
M_0=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
onde a linha 1 é v_1, a linha 2 é v_2, etc. Agora vamos fazer operações elementares por linhas para escalonar.]

Passo 4

Eliminação passo a passo (cada operação por linhas é do tipo “nova linha = linha - outra linha”, que preserva o espaço gerado pelas linhas):
  1. Eliminar a entrada da coluna 1 na linha 3 usando a linha 1:
R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação: subtraí a linha 1 da linha 3 para zerar o primeiro componente da linha 3.
  1. Eliminar a linha 4 usando a nova linha 3:
R_4 \leftarrow R_4 - R_3 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação: agora R_4 ficou com zeros nas primeiras três colunas, sobra só a última entrada.
  1. Eliminar a entrada da coluna 2 na linha 3 usando a linha 2:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora a terceira linha tem um 1 apenas na coluna 3 — é um pivô.
  1. Eliminar a entrada não-zero na coluna 4 da linha 1 usando a linha 4:
R_1 \leftarrow R_1 - R_4 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Agora chegamos na matriz identidade I_4.]

Passo 5

Interpretação do resultado: na forma escalonada obtivemos quatro linhas com pivô (nenhuma linha nula). Isso significa que as quatro linhas iniciais são linearmente independentes. Consequentemente, o espaço gerado por \{v_1,v_2,v_3,v_4\} tem dimensão 4. Em palavras mais amigáveis: esses quatro vetores formam uma base de \mathbb{R}^4, então geram todo \mathbb{R}^4.

Resposta

4

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