Informações dadas: os três vetores acima em \mathbb{R}^4. Pergunta: qual é a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\}.
Passo 2
O que precisamos calcular: a dimensão do subespaço gerado por esses vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles (ou seja, o posto da família). Vou mostrar um método prático que dá esse número: montar uma matriz cujas linhas (ou colunas) sejam os vetores e realizar eliminação (redução a escada) para contar pivôs. Cada passo será explicado como se você fosse fazer na prova.
Passo 3
Mini-aula sobre o conceito usado:
Definição intuitiva: vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear não trivial deles resulta no vetor zero. Se existirem coeficientes \alpha_i, nem todos nulos, tais que
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0,
então são linearmente dependentes; caso contrário, independentes.
Relação com dimensão: a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\} é exatamente o número de vetores dessa família que são linearmente independentes (ou seja, o posto).
Como usar na prática: montar a matriz com os vetores como linhas (ou colunas) e aplicar operações elementares de linha para obter uma forma escalonada; o número de linhas não nulas na forma escalonada é o posto.
Organizar para continuar a eliminação: é conveniente trocar a segunda e a terceira linha para ter um 1 pivô na posição (2,2). Faça R_2 \leftrightarrow R_3. A matriz fica
Observamos pivôs nas colunas 1, 2 e 3 (os elementos não nulos nas diagonais da forma escalonada: 1,\;1,\;2).
Portanto há 3 linhas não nulas na forma escalonada, logo o posto da matriz (o número de vetores linearmente independentes) é 3.
Interpretação final: os três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^4.
Dica para a prova: conte pivôs depois da eliminação; não precisa reduzir completamente para a forma reduzida — a forma escalonada já basta para contar o posto.