Ache a dimensão dos subespaços de \mathbb{R}^{4} gerados pelos vetores:
(1,-1,0,2),(3,-1,2,1) e(1,0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede: achar a dimensão do subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado (ou seja, o span) pelos vetores
v_1=(1,-1,0,2),\qquad v_2=(3,-1,2,1),\qquad v_3=(1,0,0,1).
Informações dadas: os três vetores acima em \mathbb{R}^4. Pergunta: qual é a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\}.

Passo 2

O que precisamos calcular: a dimensão do subespaço gerado por esses vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles (ou seja, o posto da família). Vou mostrar um método prático que dá esse número: montar uma matriz cujas linhas (ou colunas) sejam os vetores e realizar eliminação (redução a escada) para contar pivôs. Cada passo será explicado como se você fosse fazer na prova.

Passo 3

Mini-aula sobre o conceito usado:
  • Definição intuitiva: vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear não trivial deles resulta no vetor zero. Se existirem coeficientes \alpha_i, nem todos nulos, tais que
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=0,
então são linearmente dependentes; caso contrário, independentes.
  • Relação com dimensão: a dimensão do subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\} é exatamente o número de vetores dessa família que são linearmente independentes (ou seja, o posto).
  • Como usar na prática: montar a matriz com os vetores como linhas (ou colunas) e aplicar operações elementares de linha para obter uma forma escalonada; o número de linhas não nulas na forma escalonada é o posto.

Passo 4

Montamos a matriz cujas linhas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 3 & -1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Explicando: cada linha é um vetor do conjunto; aplicar eliminação por linhas preserva dependências lineares e nos permite contar pivôs.]

Passo 5

Primeira rodada de eliminação: usar a primeira linha para zerar a primeira coluna nas linhas 2 e 3.
  • Faça R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1. Cálculo componente a componente:
R_2 = (3,-1,2,1) - 3(1,-1,0,2) = (3-3,\; -1-(-3),\; 2-0,\; 1-6) = (0,2,2,-5).
  • Faça R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Cálculo:
R_3 = (1,0,0,1) - (1,-1,0,2) = (0,1,0,-1).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 2 & -5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Organizar para continuar a eliminação: é conveniente trocar a segunda e a terceira linha para ter um 1 pivô na posição (2,2). Faça R_2 \leftrightarrow R_3. A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 2 & -5 \end{pmatrix}.
Agora zere abaixo do pivô da coluna 2: faça R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2. Cálculo:
R_3 = (0,2,2,-5) - 2(0,1,0,-1) = (0,0,2,-3).
A matriz escalonada é então
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Contagem de pivôs e conclusão:
  • Observamos pivôs nas colunas 1, 2 e 3 (os elementos não nulos nas diagonais da forma escalonada: 1,\;1,\;2).
  • Portanto há 3 linhas não nulas na forma escalonada, logo o posto da matriz (o número de vetores linearmente independentes) é 3.
  • Interpretação final: os três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 3 em \mathbb{R}^4.
    Dica para a prova: conte pivôs depois da eliminação; não precisa reduzir completamente para a forma reduzida — a forma escalonada já basta para contar o posto.

Resposta

3

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