Questão 5. Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
f(x)=x^{2} e x_{0}=2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2} e o ponto x_{0}=2.
O que se pede: encontrar a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto correspondente a x_{0}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função: f(x)=x^{2}.
  • O ponto em abscissa: x_{0}=2.
  • A ordenada do ponto é f(2). Portanto o ponto de tangência tem coordenadas \bigl(2,\;f(2)\bigr).
  • O procedimento exigido: achar a reta tangente no ponto dado (ou seja, achar a equação da reta que toca a curva em \bigl(2,f(2)\bigr) com mesmo coeficiente angular).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (definição do coeficiente angular da tangente):
A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em x_{0} é a derivada de f em x_{0}, definida por
f'(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.
Explicando essa fórmula de forma simples:
  • f'(x_{0}) é o número que mede a taxa de variação instantânea de f em x_{0} (ou seja, a inclinação da tangente).
  • h é um pequeno incremento na variável x.
  • A fração \dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} dá a inclinação da secante que liga os pontos \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr) e \bigl(x_{0}+h,f(x_{0}+h)\bigr). Quando h\to 0, a secante vira tangente e a inclinação tende para f'(x_{0}).

Passo 3

Aplicando a definição ao caso f(x)=x^{2} em x_{0}=2. Calculemos o quociente incremental:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(2+h)^{2}-2^{2}}{h}.
Desenvolvendo o numerador passo a passo:
(2+h)^{2}=4+4h+h^{2},
portanto
(2+h)^{2}-2^{2}=(4+4h+h^{2})-4=4h+h^{2}.
Dividindo por h:
\frac{4h+h^{2}}{h}=4+h.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(2)=\lim_{h\to 0}(4+h)=4.
Interpretação curta: a inclinação da reta tangente à curva y=x^{2} em x=2 é 4.
Observação prática (atalho que costuma ser usado em prova): a regra do poder diz que a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Aplicando com n=2 obtemos f'(x)=2x e assim f'(2)=2\cdot 2=4. A definição por limite acima mostra por que isso funciona no caso n=2.

Passo 5

Encontrar as coordenadas do ponto de tangência: já que f(2)=2^{2}=4, o ponto é \bigl(2,4\bigr).
Fórmula da reta em forma ponto-inclinação (ponto-slope):
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde m é o coeficiente angular e (x_{0},y_{0}) é o ponto conhecido. Substituindo m=4 e (x_{0},y_{0})=(2,4) obtemos
y-4=4(x-2).

Passo 6

Podemos deixar a equação da reta na forma explícita (forma y= algo) para facilitar a leitura e uso na prova. A simplificação de y-4=4(x-2) leva à forma y=4x-4. (A linha acima mostra a álgebra necessária: y=4(x-2)+4.)

Resposta

y=4x-4

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