Questão 5. Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
.
O que se pede: encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a
.
O que se pede: encontrar a equação da reta tangente à curva
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função:
. - O ponto em abscissa:
. - A ordenada do ponto é
. Portanto o ponto de tangência tem coordenadas . - O procedimento exigido: achar a reta tangente no ponto dado (ou seja, achar a equação da reta que toca a curva em
com mesmo coeficiente angular).
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (definição do coeficiente angular da tangente):
A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em é a derivada de
em
, definida por
A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
Explicando essa fórmula de forma simples:
-
é o número que mede a taxa de variação instantânea de em (ou seja, a inclinação da tangente). -
é um pequeno incremento na variável . - A fração
dá a inclinação da secante que liga os pontos e . Quando , a secante vira tangente e a inclinação tende para .
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
em
. Calculemos o quociente incremental:
Desenvolvendo o numerador passo a passo:
portanto
Dividindo por
:
Passo 4
Agora tomamos o limite quando
:
Interpretação curta: a inclinação da reta tangente à curva
em
é
.
Observação prática (atalho que costuma ser usado em prova): a regra do poder diz que a derivada de
é
. Aplicando com
obtemos
e assim
. A definição por limite acima mostra por que isso funciona no caso
.
Passo 5
Encontrar as coordenadas do ponto de tangência: já que
, o ponto é
.
Fórmula da reta em forma ponto-inclinação (ponto-slope):
onde
é o coeficiente angular e
é o ponto conhecido. Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Podemos deixar a equação da reta na forma explícita (forma
algo) para facilitar a leitura e uso na prova. A simplificação de
leva à forma
. (A linha acima mostra a álgebra necessária:
.)