Questão 4. Derive implicitamente:
x^{3}-y^{3}=6 x y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^{3}-y^{3}=6xy
e pede para “derivar implicitamente”, ou seja, encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx} assumindo que y é uma função de x (escrevemos y=y(x)).
Informações relevantes que temos: a equação entre x e y indicada acima; nenhuma outra condição numérica foi dada. O objetivo é obter uma expressão para \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
  • Regra da cadeia: se y=y(x), então ao diferenciar y^3 em relação a x aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para uma composição g(y(x)),
\frac{d}{dx}g(y(x))=g'(y(x))\cdot \frac{dy}{dx}.
No nosso caso g(u)=u^3 tem g'(u)=3u^2, logo
\frac{d}{dx}\bigl(y^3\bigr)=3y^2\cdot \frac{dy}{dx}.
Aqui \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x; às vezes escrevemos y'.
  • Regra do produto: ao diferenciar um produto u(x)\,v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v+u\,v'.
No caso do termo xy, trata-se do produto de x (cuja derivada é 1) por y(x) (cuja derivada é y'), então
\frac{d}{dx}(xy)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
Vou aplicar essas regras termo a termo na equação original.

Passo 3

Diferencio ambos os lados da equação \,x^{3}-y^{3}=6xy\, em relação a x.
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de -y^{3} é - vezes a derivada de y^{3}, isto é -3y^{2}y' (pela regra da cadeia).
  • Derivada do lado direito 6xy: é constante 6 vezes a derivada de xy. Pela regra do produto, \dfrac{d}{dx}(xy)=y+xy'. Então \dfrac{d}{dx}(6xy)=6(y+xy').
Portanto, a diferenciação dá a equação
3x^{2} - 3y^{2}y' = 6\bigl(y + xy'\bigr).

Passo 4

Desenvolvo o lado direito para deixar tudo explícito:
3x^{2} - 3y^{2}y' = 6y + 6xy'.
Agora reúno todos os termos que contêm y' de um lado e os termos sem y' do outro lado, para isolar y'. Subtraio 6xy' dos dois lados e subtraio 3x^{2} dos dois lados:
-3y^{2}y' - 6xy' = 6y - 3x^{2}.

Passo 5

Fatoro y' no lado esquerdo:
y'\bigl(-3y^{2} - 6x\bigr) = 6y - 3x^{2}.
É mais conveniente eliminar o sinal negativo no fator que multiplica y'. Multiplico ambos os lados por -1 (ou simplesmente reorganizo), obtendo:
y'\bigl(3y^{2} + 6x\bigr) = 3x^{2} - 6y.

Passo 6

Agora isolo y' dividindo ambos os lados por \,3y^{2}+6x\,:
y' = \frac{3x^{2} - 6y}{3y^{2} + 6x}.

Passo 7

Posso simplificar um fator comum 3 no numerador e no denominador para deixar a expressão mais enxuta: dividir numerador e denominador por 3
y' = \frac{x^{2} - 2y}{y^{2} + 2x}.
Este é o resultado final para \dfrac{dy}{dx}.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}-2y}{y^{2}+2x}

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