Questão 4. Derive implicitamente:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede para “derivar implicitamente”, ou seja, encontrar a derivada
assumindo que
é uma função de
(escrevemos
).
Informações relevantes que temos: a equação entre e
indicada acima; nenhuma outra condição numérica foi dada. O objetivo é obter uma expressão para
em termos de
e
.
Informações relevantes que temos: a equação entre
Passo 2
Conceitos que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
- Regra da cadeia: se
, então ao diferenciar em relação a aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para uma composição ,
No nosso caso
tem
, logo
Aqui
é a derivada de
em relação a
; às vezes escrevemos
.
- Regra do produto: ao diferenciar um produto
,
No caso do termo
, trata-se do produto de
(cuja derivada é
) por
(cuja derivada é
), então
Vou aplicar essas regras termo a termo na equação original.
Passo 3
Diferencio ambos os lados da equação
em relação a
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é vezes a derivada de , isto é (pela regra da cadeia). - Derivada do lado direito
: é constante vezes a derivada de . Pela regra do produto, . Então .
Portanto, a diferenciação dá a equação
Passo 4
Desenvolvo o lado direito para deixar tudo explícito:
Agora reúno todos os termos que contêm
de um lado e os termos sem
do outro lado, para isolar
. Subtraio
dos dois lados e subtraio
dos dois lados:
Passo 5
Fatoro
no lado esquerdo:
É mais conveniente eliminar o sinal negativo no fator que multiplica
. Multiplico ambos os lados por
(ou simplesmente reorganizo), obtendo:
Passo 6
Agora isolo
dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Posso simplificar um fator comum
no numerador e no denominador para deixar a expressão mais enxuta: dividir numerador e denominador por
dá
Este é o resultado final para
.