Questão 4. Derive implicitamente:
x^{2} y+3 x y^{3}-x=3

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
x^{2}y + 3xy^{3} - x = 3.
O que pede: encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou seja, derivar implicitamente a equação e isolar \dfrac{dy}{dx}).

Passo 2

Relembre duas regras que vamos usar (explicadas em palavras simples):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v + u\,v'.
Aqui, quando uma das partes é y, lembrar que y depende de x, então y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Regra da cadeia: se y=y(x), então ao derivar y^{n} obtemos
\frac{d}{dx}\big(y^{n}\big)=n\,y^{n-1}\frac{dy}{dx}.
Isso é porque primeiro derivamos a potência e depois multiplicamos pela derivada interior y'.

Passo 3

Derive termo a termo a equação original em relação a x.
Para o termo x^{2}y apliquei a regra do produto com u=x^{2} e v=y. Temos u'=2x e v'=y'. Logo,
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=2x\,y + x^{2}\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Para o termo 3xy^{3} posso tirar a constante 3 e aplicar a regra do produto em x\cdot y^{3}. Derivando:
\frac{d}{dx}\big(3xy^{3}\big)=3\left(\frac{d}{dx}(x)\cdot y^{3} + x\cdot\frac{d}{dx}(y^{3})\right).
Agora \frac{d}{dx}(x)=1 e pela regra da cadeia \frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}y'. Então
\frac{d}{dx}\big(3xy^{3}\big)=3\big(1\cdot y^{3} + x\cdot 3y^{2}y'\big)=3y^{3}+9x y^{2}\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Para o termo -x a derivada é simplesmente -1. O lado direito da igualdade é constante 3, cuja derivada é 0. Assim, derivando a equação inteira obtemos:
\big(2x\,y + x^{2}\frac{dy}{dx}\big) + \big(3y^{3} + 9x y^{2}\frac{dy}{dx}\big) - 1 = 0.

Passo 6

Agora agrupamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} e os que não contêm, e isolamos \dfrac{dy}{dx}. Reescrevendo:
x^{2}\frac{dy}{dx} + 9x y^{2}\frac{dy}{dx} + 2x y + 3y^{3} - 1 = 0.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} nos dois primeiros termos:
\big(x^{2} + 9x y^{2}\big)\frac{dy}{dx} + \big(2x y + 3y^{3} - 1\big)=0.
Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}:
\big(x^{2} + 9x y^{2}\big)\frac{dy}{dx} = -\big(2x y + 3y^{3} - 1\big).
Dividindo pelo fator \big(x^{2} + 9x y^{2}\big) (assumindo que não seja zero no ponto considerado):
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x y + 3y^{3} - 1}{x^{2} + 9x y^{2}}.

Passo 7

Podemos reescrever o numerador multiplicando por -1 para uma forma alternativa mais “limpa”:
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 2x y - 3y^{3}}{x^{2} + 9x y^{2}}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{1-2xy-3y^{3}}{x^{2}+9xy^{2}}

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