Questão 4. Derive implicitamente:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
O que pede: encontrar a derivada
(ou seja, derivar implicitamente a equação e isolar
).
Passo 2
Relembre duas regras que vamos usar (explicadas em palavras simples):
- Regra do produto: se
e são funções de , então
Aqui, quando uma das partes é
, lembrar que
depende de
, então
.
- Regra da cadeia: se
, então ao derivar obtemos
Isso é porque primeiro derivamos a potência e depois multiplicamos pela derivada interior
.
Passo 3
Derive termo a termo a equação original em relação a
.
Para o termo
apliquei a regra do produto com
e
. Temos
e
. Logo,
Passo 4
Para o termo
posso tirar a constante
e aplicar a regra do produto em
. Derivando:
Agora
e pela regra da cadeia
. Então
Passo 5
Para o termo
a derivada é simplesmente
. O lado direito da igualdade é constante
, cuja derivada é
. Assim, derivando a equação inteira obtemos:
Passo 6
Agora agrupamos os termos que contêm
e os que não contêm, e isolamos
. Reescrevendo:
Fatorando
nos dois primeiros termos:
Agora isolamos
:
Dividindo pelo fator
(assumindo que não seja zero no ponto considerado):
Passo 7
Podemos reescrever o numerador multiplicando por
para uma forma alternativa mais “limpa”: