Questão 5. Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
e
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e o ponto em que queremos a tangente
.
O que é pedido: achar a equação da reta tangente à curva no ponto cujo abscissa é .
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido: achar a equação da reta tangente à curva no ponto cujo abscissa é
Informações relevantes fornecidas:
-
. -
.
Passo 2
Entendendo o que é a reta tangente e a fórmula que vamos usar.
A reta tangente à curva no ponto de abscissa
passa pelo ponto
e tem inclinação igual à derivada de
em
, escrita
. A fórmula padrão da reta tangente é
A reta tangente à curva
Portanto precisamos de dois itens: o valor
(a ordenada do ponto) e a derivada
(o coeficiente angular).
Passo 3
O que é derivada e como calculá-la no ponto.
A derivada de no ponto
é o limite do quociente incremental:
A derivada de
Este limite, quando existe, representa a taxa de variação instantânea de
em
e corresponde geometricamente à inclinação da reta tangente em
. Vamos aplicar essa definição a
no ponto
.
Passo 4
Calcular
usando a definição da derivada (limite do quociente incremental).
Escrevendo o quociente:
Escrevendo o quociente:
Para avaliar o limite quando
racionalizamos o numerador multiplicando por
:
Cancelando
(para
) obtemos
Agora tomamos o limite
:
Portanto a inclinação da tangente em
é
.
Passo 5
Verificação rápida com a regra de potência (intuitiva e prática).
Se escrever , a regra de potência diz que
Se escrever
Aplicando com
obtém-se
Substituindo
dá
confirmando o valor achado pelo limite.
Passo 6
Calcular
(a ordenada do ponto de tangência).
Então o ponto de tangência é
.
Passo 7
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2.
Substituindo ,
e
em
Substituindo
temos
Simplificando para a forma mais comum:
Uma forma equivalente em forma implícita é
, pois multiplicando
por 6 obtém-se
.