Questão 5. Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
f(x)=\sqrt{x} e x_{0}=9

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\sqrt{x} e o ponto em que queremos a tangente x_{0}=9.
O que é pedido: achar a equação da reta tangente à curva no ponto cujo abscissa é x_{0}=9.
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x)=\sqrt{x}.
  • x_{0}=9.

Passo 2

Entendendo o que é a reta tangente e a fórmula que vamos usar.
A reta tangente à curva y=f(x) no ponto de abscissa x_{0} passa pelo ponto \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr) e tem inclinação igual à derivada de f em x_{0}, escrita f'(x_{0}). A fórmula padrão da reta tangente é
y = f(x_{0}) + f'(x_{0})\bigl(x - x_{0}\bigr).
Portanto precisamos de dois itens: o valor f(x_{0}) (a ordenada do ponto) e a derivada f'(x_{0}) (o coeficiente angular).

Passo 3

O que é derivada e como calculá-la no ponto.
A derivada de f no ponto a é o limite do quociente incremental:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Este limite, quando existe, representa a taxa de variação instantânea de f em a e corresponde geometricamente à inclinação da reta tangente em a. Vamos aplicar essa definição a f(x)=\sqrt{x} no ponto a=9.

Passo 4

Calcular f'(9) usando a definição da derivada (limite do quociente incremental).
Escrevendo o quociente:
\frac{f(9+h)-f(9)}{h}=\frac{\sqrt{9+h}-\sqrt{9}}{h}=\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}.
Para avaliar o limite quando h\to0 racionalizamos o numerador multiplicando por \dfrac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3}:
\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\cdot\frac{\sqrt{9+h}+3}{\sqrt{9+h}+3} =\frac{(\sqrt{9+h})^{2}-3^{2}}{h\bigl(\sqrt{9+h}+3\bigr)} =\frac{9+h-9}{h\bigl(\sqrt{9+h}+3\bigr)} =\frac{h}{h\bigl(\sqrt{9+h}+3\bigr)}.
Cancelando h (para h\neq0) obtemos
\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}.
Agora tomamos o limite h\to0:
f'(9)=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3}=\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.
Portanto a inclinação da tangente em x_{0}=9 é f'(9)=\dfrac{1}{6}.

Passo 5

Verificação rápida com a regra de potência (intuitiva e prática).
Se escrever f(x)=x^{1/2}, a regra de potência diz que
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2} obtém-se
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Substituindo x=9
f'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6},
confirmando o valor achado pelo limite.

Passo 6

Calcular f(9) (a ordenada do ponto de tangência).
f(9)=\sqrt{9}=3.
Então o ponto de tangência é \bigl(9,3\bigr).

Passo 7

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2.
Substituindo f(9)=3, f'(9)=\dfrac{1}{6} e x_{0}=9 em
y = f(x_{0}) + f'(x_{0})\bigl(x - x_{0}\bigr)
temos
y = 3 + \frac{1}{6}\bigl(x-9\bigr).
Simplificando para a forma mais comum:
y = 3 + \frac{x}{6}-\frac{9}{6}= \frac{x}{6} + \frac{3}{2}.
Uma forma equivalente em forma implícita é x-6y+9=0, pois multiplicando y=\dfrac{x}{6}+\dfrac{3}{2} por 6 obtém-se 6y=x+9.

Resposta

y=\dfrac{x}{6}+\dfrac{3}{2}

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