Questão 5. Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
f(x)=5 x+4 e x_{0}=2

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
  • Função fornecida: f(x)=5x+4.
  • Ponto onde queremos a reta tangente: x_{0}=2.
O que o problema pede:
  • Determinar a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto de abscissa x_{0}=2.

Passo 2

Entender o que é a reta tangente (explicação didática): a reta tangente a uma curva num ponto é a reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação (mesma taxa de variação instantânea) que a curva ali. Matematicamente, a inclinação da tangente é a derivada da função no ponto. A definição de derivada é (para quem quiser a forma limite):
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui, f'(x) é a derivada de f em x; ela representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente em x.

Passo 3

Calcular a derivada de f(x)=5x+4. Para funções lineares da forma \,ax+b, a derivada é simplesmente o coeficiente a porque a taxa de variação é constante. Podemos também aplicar a definição limite para confirmar:
\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{5(x+h)+4-(5x+4)}{h}\\[4pt] &=\lim_{h\to0}\frac{5x+5h+4-5x-4}{h} =\lim_{h\to0}\frac{5h}{h} =\lim_{h\to0}5=5. \end{aligned}
Logo, a derivada é \,f'(x)=5 para qualquer x.]

Passo 4

Determinar a inclinação da tangente no ponto x_{0}=2. Como a derivada é constante,
f'(2)=5.
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em x_{0}=2 é m=5.

Passo 5

Calcular as coordenadas do ponto da curva onde a tangente toca: precisamos de y_{0}=f(x_{0}).
y_{0}=f(2)=5\cdot2+4=10+4=14.
O ponto de tangência é (x_{0},y_{0})=(2,14).

Passo 6

Usar a fórmula da reta que passa por um ponto com dado coeficiente angular (fórmula ponto-inclinação). A fórmula é
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde m é o coeficiente angular e (x_{0},y_{0}) é o ponto dado. Aqui m=5, x_{0}=2, y_{0}=14. Substituindo:
y-14=5(x-2).

Passo 7

Simplificar a equação para a forma explícita y=mx+b. Desenvolvendo:
y-14=5x-10
y=5x-10+14
y=5x+4.

Passo 8

Comentário didático final (motivação e dica para a prova): para uma função linear \,f(x)=ax+b, a reta tangente em qualquer ponto coincide com a própria função, porque a função já é uma reta. Então sempre que cair uma questão dessas, se a função for linear basta reconhecer que a tangente é a própria reta y=ax+b. Isso economiza tempo na prova e evita cálculos desnecessários — mas mostre rapidamente a derivada ou o ponto para garantir.

Resposta

y=5x+4

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