Questão 5. Ache a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
e
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
- Função fornecida:
. - Ponto onde queremos a reta tangente:
.
O que o problema pede:
- Determinar a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa .
Passo 2
Entender o que é a reta tangente (explicação didática): a reta tangente a uma curva num ponto é a reta que toca a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação (mesma taxa de variação instantânea) que a curva ali. Matematicamente, a inclinação da tangente é a derivada da função no ponto. A definição de derivada é (para quem quiser a forma limite):
Aqui,
é a derivada de
em
; ela representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente em
.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Para funções lineares da forma
, a derivada é simplesmente o coeficiente
porque a taxa de variação é constante. Podemos também aplicar a definição limite para confirmar:
Logo, a derivada é
para qualquer
.]
Passo 4
Determinar a inclinação da tangente no ponto
. Como a derivada é constante,
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é
.
Passo 5
Calcular as coordenadas do ponto da curva onde a tangente toca: precisamos de
.
O ponto de tangência é
.
Passo 6
Usar a fórmula da reta que passa por um ponto com dado coeficiente angular (fórmula ponto-inclinação). A fórmula é
onde
é o coeficiente angular e
é o ponto dado. Aqui
,
,
. Substituindo:
Passo 7
Simplificar a equação para a forma explícita
. Desenvolvendo:
Passo 8
Comentário didático final (motivação e dica para a prova): para uma função linear
, a reta tangente em qualquer ponto coincide com a própria função, porque a função já é uma reta. Então sempre que cair uma questão dessas, se a função for linear basta reconhecer que a tangente é a própria reta
. Isso economiza tempo na prova e evita cálculos desnecessários — mas mostre rapidamente a derivada ou o ponto para garantir.