Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaz a EDO e a condição inicial. As informações relevantes são:
- A equação envolve potências de
e até a terceira ordem. - A condição inicial é
, isto é, no ponto o valor de é .
A partir daqui vamos procurar uma substituição apropriada para simplificar a equação e torná‑la integrável.
Passo 2
Motivação da substituição (aula rápida e intuitiva).
Quando vemos termos como e
juntos e um fator
multiplicando
, uma boa tentativa é escrever
como
vezes uma nova função: definimos
Quando vemos termos como
onde
é a nova função a determinar. Essa substituição costuma funcionar quando as potências de
e
“combinam” (a equação tem simetria de escala). Agora vamos calcular
em termos de
.
Passo 3
Derivando
pelo produto temos:
Substituímos
e
na equação original. Primeiro calculemos
:
portanto
O lado direito é
Logo a equação fica
Passo 4
Cancelamos
em ambos os lados (isto é válido para
; a condição inicial ocorre em
então estamos no caso
), obtendo
Agora desenvolvemos o produto à esquerda:
Cancelando
dos dois lados (isso é só subtrair
) resulta
Isolando
obtemos
Passo 5
Este é um caso clássico de equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Agora integramos ambos os lados. Explico as primitivas:
-
, porque a integral de é . -
, porque a integral de é .
Assim,
Multiplicando por
,
onde
é a constante de integração ajustada.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial para determinar
. Quando
temos
. Pela substituição
segue
. Substituindo em
com
:
portanto
. Assim a relação fica
Passo 7
Voltando à variável original
, lembrando que
, obtemos a solução explícita:
Comentário rápido sobre sinais e domínio: a raiz cúbica
é definida para todo argumento real (raiz cúbica dá um real mesmo para argumentos negativos). Como queremos a solução que passa por
com
, escolhemos a rama contínua da raiz cúbica que dá
em
. Em particular, perto de
pode substituir
já que
nesse ponto.