Questão 6. Resolva a EDO dada por meio de uma substituição apropriada.
t y^{2} \frac{d y}{d t}=y^{3}-t^{3}, y(1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
t\,y^{2}\,\frac{dy}{dt}=y^{3}-t^{3},\qquad y(1)=2.
O que é pedido: encontrar a solução y(t) que satisfaz a EDO e a condição inicial. As informações relevantes são:
  • A equação envolve potências de y e t até a terceira ordem.
  • A condição inicial é y(1)=2, isto é, no ponto t=1 o valor de y é 2.
    A partir daqui vamos procurar uma substituição apropriada para simplificar a equação e torná‑la integrável.

Passo 2

Motivação da substituição (aula rápida e intuitiva).
Quando vemos termos como y^{3} e t^{3} juntos e um fator t\,y^{2} multiplicando \dfrac{dy}{dt}, uma boa tentativa é escrever y como t vezes uma nova função: definimos
y(t)=t\,z(t),
onde z(t) é a nova função a determinar. Essa substituição costuma funcionar quando as potências de y e t “combinam” (a equação tem simetria de escala). Agora vamos calcular \dfrac{dy}{dt} em termos de z.

Passo 3

Derivando y=t z(t) pelo produto temos:
\frac{dy}{dt}=z+t\frac{dz}{dt}.
Substituímos y e \dfrac{dy}{dt} na equação original. Primeiro calculemos t\,y^{2}\,\dfrac{dy}{dt}:
y^{2}=(t z)^{2}=t^{2} z^{2},
portanto
t\,y^{2}\,\frac{dy}{dt}=t\cdot t^{2} z^{2}\cdot\bigg(z+t\frac{dz}{dt}\bigg)=t^{3} z^{2}\bigg(z+t\frac{dz}{dt}\bigg).
O lado direito é
y^{3}-t^{3}=(t z)^{3}-t^{3}=t^{3}\big(z^{3}-1\big).
Logo a equação fica
t^{3} z^{2}\bigg(z+t\frac{dz}{dt}\bigg)=t^{3}\big(z^{3}-1\big).

Passo 4

Cancelamos t^{3} em ambos os lados (isto é válido para t\neq0; a condição inicial ocorre em t=1 então estamos no caso t\neq0), obtendo
z^{2}\bigg(z+t\frac{dz}{dt}\bigg)=z^{3}-1.
Agora desenvolvemos o produto à esquerda:
z^{3}+t z^{2}\frac{dz}{dt}=z^{3}-1.
Cancelando z^{3} dos dois lados (isso é só subtrair z^{3}) resulta
t z^{2}\frac{dz}{dt}=-1.
Isolando \dfrac{dz}{dt} obtemos
\frac{dz}{dt}=-\frac{1}{t z^{2}}.

Passo 5

Este é um caso clássico de equação separável. Vamos separar as variáveis z e t:
z^{2}\,dz=-\frac{dt}{t}.
Agora integramos ambos os lados. Explico as primitivas:
  • \displaystyle\int z^{2}\,dz=\frac{z^{3}}{3}, porque a integral de z^{n} é \dfrac{z^{n+1}}{n+1}.
  • \displaystyle\int -\frac{dt}{t}=-\ln|t| + C, porque a integral de 1/t é \ln|t|.
    Assim,
\frac{z^{3}}{3}=-\ln|t|+C.
Multiplicando por 3,
z^{3}=-3\ln|t|+C_{1},
onde C_{1}=3C é a constante de integração ajustada.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para determinar C_{1}. Quando t=1 temos y(1)=2. Pela substituição y=tz segue z(1)=y(1)/1=2. Substituindo em z^{3}=-3\ln|t|+C_{1} com t=1:
2^{3}=8=-3\ln|1|+C_{1}=0+C_{1},
portanto C_{1}=8. Assim a relação fica
z^{3}=8-3\ln|t|.

Passo 7

Voltando à variável original y, lembrando que y=t z, obtemos a solução explícita:
y(t)=t\;z(t)=t\big(8-3\ln|t|\big)^{1/3}.
Comentário rápido sobre sinais e domínio: a raiz cúbica \big(8-3\ln|t|\big)^{1/3} é definida para todo argumento real (raiz cúbica dá um real mesmo para argumentos negativos). Como queremos a solução que passa por t=1 com y(1)=2, escolhemos a rama contínua da raiz cúbica que dá 2 em t=1. Em particular, perto de t=1 pode substituir \ln|t|=\ln t já que t>0 nesse ponto.

Resposta

y(t)=t\big(8-3\ln|t|\big)^{1/3}

Exercícios relacionados