Questão 3

Ainda não respondida
Considere a função f(x)=\sqrt[4]{1-x}. Usando a série binomial, qual das alternativas abaixo representa corretamente a série de potência de f(x) em torno de x=0.
1+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1(-3)(-7) \ldots(5-4 n)}{n!} x^{n}, para |x|<1
1+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1(-4)(-8) \ldots(4-4 n)}{4^{n} n!} x^{n}, para |x|<1
1+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1(-3)(-7) \ldots(5-4 n)}{n!} x^{n}, para |x|<1
1+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1(-3)(-7) \ldots(5-4 n)}{4^{n} n!} x^{n}, para |x|<1
1+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1(-3)(-7) \ldots(5-4 n)}{4^{n} n!} x^{n}, para |x|<1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt[4]{1-x} e pede a série de potência de f em torno de x=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=(1-x)^{1/4}.
  • Quer-se a expansão em série de potências centrada em x=0 (isto é, uma série \sum a_n x^n).
  • As alternativas apresentadas mostram séries da forma 1+\sum_{n=1}^{\infty}\cdots x^n com condição |x|<1.
  • Precisamos escolher a expressão correta entre as alternativas.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (fórmula e interpretação clara). Existe uma fórmula que expande potências não inteiras de 1+t em série (essa é a versão da série binomial para expoentes gerais). A fórmula é:
(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} t^{n},\qquad \text{válida para }|t|<1,á
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},
para n\ge1, e \binom{\alpha}{0}=1.
Explicando cada parte:
  • \alpha é o expoente (pode ser não inteiro).
  • t é a variável da série (aqui usaremos t=-x porque temos (1-x)).
  • O produto no numerador tem exatamente n fatores: o primeiro é \alpha, o segundo é \alpha-1, e assim por diante até \alpha-n+1.
  • O denominador é n!, como na combinação usual.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Tomamos \alpha=\tfrac{1}{4} e t=-x. Então
(1-x)^{1/4}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{1/4}{n}(-x)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{1/4}{n}(-1)^{n} x^{n},
com convergência para |x|<1. Aqui já vemos que cada coeficiente será \binom{1/4}{n}(-1)^{n}.

Passo 4

Escrever explicitamente \binom{1/4}{n}. Pela definição,
\binom{1/4}{n}=\frac{\tfrac{1}{4}\bigl(\tfrac{1}{4}-1\bigr)\bigl(\tfrac{1}{4}-2\bigr)\cdots\bigl(\tfrac{1}{4}-(n-1)\bigr)}{n!}.
Agora note que cada fator \tfrac{1}{4}-j (com j=0,1,\dots,n-1) pode ser colocado sobre denominador 4:
\tfrac{1}{4}-j=\frac{1-4j}{4}.
Então o produto no numerador fica
\prod_{j=0}^{n-1}\bigl(\tfrac{1}{4}-j\bigr) =\frac{1(-3)(-7)\cdots(1-4(n-1))}{4^{n}}.
Observe que 1-4(n-1)=5-4n, logo o último fator pode ser escrito como (5-4n). Portanto
\binom{1/4}{n}=\frac{1(-3)(-7)\cdots(5-4n)}{4^{n}\,n!}.

Passo 5

Juntando tudo: o coeficiente do termo x^{n} em (1-x)^{1/4} é
\binom{1/4}{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}\frac{1(-3)(-7)\cdots(5-4n)}{4^{n}\,n!}.
Portanto a expansão em série de potências (começando em n=0) é
(1-x)^{1/4}=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1(-3)(-7)\cdots(5-4n)}{4^{n}\,n!}\,x^{n},\qquad |x|<1.

Passo 6

Verificação com os primeiros termos (checar sinais e fatores para bater com alternativas). Calculando n=1 pela fórmula:
\text{coeficiente de }x:\quad (-1)^{1}\frac{1}{4^{1}1!}=-\frac{1}{4},
o que coincide com a expansão direta: (1-x)^{1/4}=1-\tfrac{1}{4}x+\cdots. Isso confirma que o fator (-1)^{n} e o 4^{n} no denominador são necessários. Comparando com as alternativas dadas, a que coincide exatamente com a expressão obtida é a que tem o fator (-1)^{n} e o denominador 4^{n}n!.

Resposta

1+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1(-3)(-7) \ldots(5-4 n)}{4^{n} n!} x^{n}, \text{ para }|x|<1

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