Questão 3
Ainda não respondida
Considere a função
. Usando a série binomial, qual das alternativas abaixo representa corretamente a série de potência de
em torno de
.
◯
, para
◯
, para
◯
, para
◯
, para
◯
, para
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a série de potência de
em torno de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - Quer-se a expansão em série de potências centrada em
(isto é, uma série ). - As alternativas apresentadas mostram séries da forma
com condição . - Precisamos escolher a expressão correta entre as alternativas.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (fórmula e interpretação clara). Existe uma fórmula que expande potências não inteiras de
em série (essa é a versão da série binomial para expoentes gerais). A fórmula é:
onde o coeficiente binomial generalizado é definido por
para
, e
.
Explicando cada parte:
Explicando cada parte:
-
é o expoente (pode ser não inteiro). -
é a variável da série (aqui usaremos porque temos ). - O produto no numerador tem exatamente
fatores: o primeiro é , o segundo é , e assim por diante até . - O denominador é
, como na combinação usual.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Tomamos
e
. Então
com convergência para
. Aqui já vemos que cada coeficiente será
.
Passo 4
Escrever explicitamente
. Pela definição,
Agora note que cada fator
(com
) pode ser colocado sobre denominador
:
Então o produto no numerador fica
Observe que
, logo o último fator pode ser escrito como
. Portanto
Passo 5
Juntando tudo: o coeficiente do termo
em
é
Portanto a expansão em série de potências (começando em
) é
Passo 6
Verificação com os primeiros termos (checar sinais e fatores para bater com alternativas). Calculando
pela fórmula:
o que coincide com a expansão direta:
. Isso confirma que o fator
e o
no denominador são necessários. Comparando com as alternativas dadas, a que coincide exatamente com a expressão obtida é a que tem o fator
e o denominador
.