Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a regiẫo
delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o Método das Cascas.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ f.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ f.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno do eixo
, usando o método das cascas. As curvas que delimitam
são:
-
, -
, -
.
O que preciso obter: a expressão integral (com limites e integrandos) que representa o volume pelo método das cascas cilíndricas (integração em
, já que se gira em torno de uma reta vertical).
Passo 2
Primeiro encontro os pontos de interseção entre cada par de curvas (isso fornece os limites de integração e onde as curvas trocam de papel como bordo superior/inferior).
Interseção entre
e
:
O ponto é
(e
).
Interseção entre
e
:
(raízes com
não são reais). Ponto em
com
.
Interseção entre
e
:
Testando
:
, logo
é raiz (as outras raízes são complexas). Ponto em
com
.
Resumo dos pontos de interseção relevantes (todas reais):
.
Passo 3
Agora identifico, em cada intervalo entre essas abscissas, qual curva é a superior e qual é a inferior (isso dá a altura da casca).
-
Para
: avalio num ponto teste, por exemplo . -
. -
. -
.
Ordem:(maior), , (menor). A região limitada entre e é a fechada por acima e abaixo (pois em essas duas se cruzam, e em cruza ).
-
-
Para
: avalio em . -
. -
. -
.
Ordem:(maior), depois , depois . A região entre e é limitada por acima e abaixo (pois em e se cruzam).
-
Portanto devemos dividir a integração em dois trechos:
com altura
e
com altura
.
Passo 4
Calculo explicitamente as alturas (topo − base) em cada trecho.
Para
:
Para
:
Confirmei os valores em pontos testes (por exemplo em
, primeira altura dá
; em
, segunda altura também dá
— compatível com o encontro das curvas em
).
Passo 5
Explico a fórmula das cascas (passo didático curto e prático):
- Para revolver uma região em torno de uma reta vertical
, usa-se cascas verticais (retângulos em que giram formando cilindros finos). - Uma casca em
tem: - raio
distância do ponto até o eixo . Como todos os considerados estão à esquerda de , (positivo). - altura
diferença entre a curva superior e a inferior (já calculada). - espessura
.
- raio
- Volume da casca aproximada:
. - Volume total:
, com limites apropriados.
Passo 6
Monto o integral do volume, dividindo nos dois trechos identificados:
Para
:
Para
:
Logo a integral pelo método das cascas é
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, a expressão acima corresponde exatamente à alternativa e.
Força aí — já tá feito: montamos as alturas e o raio certinho, e chegamos ao integral pedido.