Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a regiẫo S delimitada pelas curvas y=x^{3}+2, y=x+26 e y=-\frac{x}{3}+2 em torno do eixo x=5 usando o Método das Cascas.
Escolha uma opção:
◯ a. 2 \pi \int_{-18}^{0}(5+x)\left(\frac{4 x}{3}+28\right) d x+2 \pi \int_{0}^{3}(5+x)\left(x+28-x^{3}\right) d x
◯ b. 2 \pi \int_{-3}^{3}(5-x)\left(\frac{2 x}{3}+24-x^{3}\right) d x
◯ c. 2 \pi \int_{-3}^{0}(5+x)\left(\frac{2 x}{3}+28\right) d x+2 \pi \int_{0}^{3}(5+x)\left(x+28-x^{3}\right) d x
◯ d. 2 \pi \int_{-3}^{0} x\left(\frac{4 x}{3}+15\right) d x+2 \pi \int_{0}^{3} x\left(x+24-x^{3}\right) d x
◯ e. 2 \pi \int_{-18}^{0}(5-x)\left(\frac{4 x}{3}+24\right) d x+2 \pi \int_{0}^{3}(5-x)\left(x+24-x^{3}\right) d x
◯ f. \quad 2 \pi \int_{-18}^{3} x\left(\frac{4 x}{3}+20-x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a integral que calcula o volume do sólido obtido ao girar a região S em torno do eixo x=5, usando o método das cascas. As curvas que delimitam S são:
  • y = x^{3}+2,
  • y = x+26,
  • y = -\dfrac{x}{3}+2.
O que preciso obter: a expressão integral (com limites e integrandos) que representa o volume pelo método das cascas cilíndricas (integração em x, já que se gira em torno de uma reta vertical).

Passo 2

Primeiro encontro os pontos de interseção entre cada par de curvas (isso fornece os limites de integração e onde as curvas trocam de papel como bordo superior/inferior).
Interseção entre y=x+26 e y=-\dfrac{x}{3}+2:
x+26=-\dfrac{x}{3}+2
x+\dfrac{x}{3}=2-26=-24
\frac{4x}{3}=-24 \quad\Rightarrow\quad x=-18.
O ponto é x=-18 (e y=-18+26=8).
Interseção entre y=x^{3}+2 e y=-\dfrac{x}{3}+2:
x^{3}+2=-\dfrac{x}{3}+2
x^{3}=-\dfrac{x}{3}
x\left(x^{2}+\dfrac{1}{3}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0
(raízes com x^{2}=-\tfrac{1}{3} não são reais). Ponto em x=0 com y=2.
Interseção entre y=x^{3}+2 e y=x+26:
x^{3}+2=x+26
x^{3}-x-24=0.
Testando x=3: 27-3-24=0, logo x=3 é raiz (as outras raízes são complexas). Ponto em x=3 com y=3+26=29.
Resumo dos pontos de interseção relevantes (todas reais): x=-18,\;x=0,\;x=3.

Passo 3

Agora identifico, em cada intervalo entre essas abscissas, qual curva é a superior e qual é a inferior (isso dá a altura da casca).
  • Para x\in[-18,0]: avalio num ponto teste, por exemplo x=-1.
    • y_{1}=x^{3}+2=-1+2=1.
    • y_{2}=x+26=25.
    • y_{3}=-\dfrac{x}{3}+2=2+\tfrac{1}{3}\approx2{,}33.
      Ordem: y_{2} (maior), y_{3}, y_{1} (menor). A região limitada entre -18 e 0 é a fechada por y_{2} acima e y_{3} abaixo (pois em x=-18 essas duas se cruzam, e em x=0 y_{3} cruza y_{1}).
  • Para x\in[0,3]: avalio em x=1.
    • y_{1}=1+2=3.
    • y_{2}=1+26=27.
    • y_{3}=-\tfrac{1}{3}+2\approx1{,}66.
      Ordem: y_{2} (maior), depois y_{1}, depois y_{3}. A região entre 0 e 3 é limitada por y_{2} acima e y_{1} abaixo (pois em x=3 y_{1} e y_{2} se cruzam).
Portanto devemos dividir a integração em dois trechos: [-18,0] com altura y_{2}-y_{3} e [0,3] com altura y_{2}-y_{1}.

Passo 4

Calculo explicitamente as alturas (topo − base) em cada trecho.
Para x\in[-18,0]:
\text{altura} = y_{2}-y_{3}=(x+26)-\Big(-\dfrac{x}{3}+2\Big) = x+26+\dfrac{x}{3}-2 = \dfrac{4x}{3}+24.
Para x\in[0,3]:
\text{altura} = y_{2}-y_{1}=(x+26)-(x^{3}+2) = -x^{3}+x+24 = x+24-x^{3}.
Confirmei os valores em pontos testes (por exemplo em x=0, primeira altura dá 24; em x=0, segunda altura também dá 24 — compatível com o encontro das curvas em x=0).

Passo 5

Explico a fórmula das cascas (passo didático curto e prático):
  • Para revolver uma região em torno de uma reta vertical x=a, usa-se cascas verticais (retângulos em x que giram formando cilindros finos).
  • Uma casca em x tem:
    • raio r(x)= distância do ponto x até o eixo x=5. Como todos os x considerados estão à esquerda de 5, r(x)=5-x (positivo).
    • altura h(x)= diferença entre a curva superior e a inferior (já calculada).
    • espessura dx.
  • Volume da casca aproximada: dV \approx 2\pi \, r(x)\, h(x)\, dx.
  • Volume total: V=2\pi\int r(x)\,h(x)\,dx, com limites apropriados.

Passo 6

Monto o integral do volume, dividindo nos dois trechos identificados:
Para x\in[-18,0]:
r(x)=5-x,\qquad h(x)=\dfrac{4x}{3}+24.
Para x\in[0,3]:
r(x)=5-x,\qquad h(x)=x+24-x^{3}.
Logo a integral pelo método das cascas é
2\pi\int_{-18}^{0}(5-x)\left(\dfrac{4x}{3}+24\right)\,dx \;+\; 2\pi\int_{0}^{3}(5-x)\left(x+24-x^{3}\right)\,dx.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a expressão acima corresponde exatamente à alternativa e.
Força aí — já tá feito: montamos as alturas e o raio certinho, e chegamos ao integral pedido.

Resposta

2 \pi \int_{-18}^{0}(5-x)\left(\frac{4 x}{3}+24\right) d x+2 \pi \int_{0}^{3}(5-x)\left(x+24-x^{3}\right) d x

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