Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função
?
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ f.
◯ g.
◯ h.
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ f.
◯ g.
◯ h.
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função
. As informações relevantes são:
- A função é definida por uma expressão que contém um logaritmo natural
. - A função tem uma raiz cúbica no denominador,
.
A pergunta implícita é: para quaisa expressão de faz sentido (ou seja, está bem definida como número real diferente de indefinição)?
Passo 2
Condição vinda do logaritmo: lembrar a regra do logaritmo natural.
- A função
está definida apenas para . - Aqui
.
Portanto uma condição necessária é
Comentário didático:
é permitido; o proibido é
porque aí o argumento do
seria zero ou negativo, o que não é permitido para
real.
Passo 3
Condição vinda do denominador: analisar
.
- A raiz cúbica
está definida para todo (diferente da raiz quadrada, que exige ). Então não há restrição do tipo . - Porém, como essa raiz cúbica aparece no denominador, é proibido que o denominador seja zero. Assim devemos ter
ou seja
Comentário didático: mesmo que
seja um número real, dividir por zero é indefinido, por isso excluímos o caso
.
Passo 4
Juntar as duas condições obtidas:
- Do logaritmo:
. - Do denominador:
.
Logo o domínio é o conjunto
Passo 5
Verificação das alternativas fornecidas: comparar com a lista.
- A alternativa (b) é exatamente
, que coincide com o conjunto que encontramos. - As outras alternativas falham por vários motivos: algumas exigem
(o que é restritivo demais, pois pode ser menor que 1 e ainda assim a raiz cúbica não ser zero), outras usam no lugar de para o argumento do (mas exige estritamente ), etc. Portanto a única que corresponde exatamente às condições é a (b).
Passo 6
Exemplos rápidos para intuir a condição:
-
dá e : ponto permitido. -
dá : denominador zero → ponto proibido. -
dá : argumento do não positivo → ponto proibido.
Resposta
(b)