Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função f(x, y)=\frac{\ln \left(x^{2}+2 y\right)}{\sqrt[3]{2 x y-1}} ?
Escolha uma opção:
◯ a. \mathbb{R}^{2}
◯ b. \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+2 y>0,2 x y \neq 1\right\}
◯ c. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+2 y \neq 1,2 x y>1\right\}
◯ d. \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+2 y \neq 1\right\}
◯ e. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+2 y \neq 0, x>1, y>1\right\}
◯ f. \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 x y>1\right\}
◯ g. \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+2 y \neq 0,2 x y \neq 1\right\}
◯ h. \quad\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+2 y>0,2 x y>1\right\}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função f(x,y)=\frac{\ln\left(x^{2}+2y\right)}{\sqrt[3]{2xy-1}}. As informações relevantes são:
  • A função é definida por uma expressão que contém um logaritmo natural \ln(\cdot).
  • A função tem uma raiz cúbica no denominador, \sqrt[3]{2xy-1}.
    A pergunta implícita é: para quais (x,y)\in\mathbb{R}^2 a expressão de f(x,y) faz sentido (ou seja, está bem definida como número real diferente de indefinição)?

Passo 2

Condição vinda do logaritmo: lembrar a regra do logaritmo natural.
  • A função \ln(u) está definida apenas para u>0.
  • Aqui u = x^{2}+2y.
    Portanto uma condição necessária é
x^{2}+2y>0.
Comentário didático: \ln(1)=0 é permitido; o proibido é x^{2}+2y\le 0 porque aí o argumento do \ln seria zero ou negativo, o que não é permitido para \ln real.

Passo 3

Condição vinda do denominador: analisar \sqrt[3]{2xy-1}.
  • A raiz cúbica \sqrt[3]{t} está definida para todo t\in\mathbb{R} (diferente da raiz quadrada, que exige t\ge0). Então não há restrição do tipo 2xy-1\ge0.
  • Porém, como essa raiz cúbica aparece no denominador, é proibido que o denominador seja zero. Assim devemos ter
\sqrt[3]{2xy-1}\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2xy-1\neq 0,
ou seja
2xy\neq 1.
Comentário didático: mesmo que \sqrt[3]{0}=0 seja um número real, dividir por zero é indefinido, por isso excluímos o caso 2xy=1.

Passo 4

Juntar as duas condições obtidas:
  • Do logaritmo: x^{2}+2y>0.
  • Do denominador: 2xy\neq 1.
    Logo o domínio é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+2y>0,\;2xy\neq 1\}.

Passo 5

Verificação das alternativas fornecidas: comparar com a lista.
  • A alternativa (b) é exatamente \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+2y>0,\,2xy\neq 1\}, que coincide com o conjunto que encontramos.
  • As outras alternativas falham por vários motivos: algumas exigem 2xy>1 (o que é restritivo demais, pois 2xy pode ser menor que 1 e ainda assim a raiz cúbica não ser zero), outras usam \neq 0 no lugar de >0 para o argumento do \ln (mas \ln exige estritamente >0), etc. Portanto a única que corresponde exatamente às condições é a (b).

Passo 6

Exemplos rápidos para intuir a condição:
  • (x,y)=(0,1) x^{2}+2y=2>0 e 2xy=0\neq1: ponto permitido.
  • (x,y)=(1,\tfrac12) 2xy=1: denominador zero → ponto proibido.
  • (x,y)=(0,-1) x^{2}+2y=-2\le0: argumento do \ln não positivo → ponto proibido.

Resposta

(b)

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