Questão 9

Ainda não respondida
Um jardineiro usa uma mangueira com 2,50 \mathrm{~cm} de diâmetro para encher um balde de 30,0 \mathrm{~L} com água. Ele nota que leva 1,00 min para enchê-lo. Um bocal com abertura de área de seção transversal de 0,500 \mathrm{~cm}^{2} é preso à mangueira e segurado para que a água seja projetada horizontalmente de um ponto 1,5 m acima do solo.
Considerando a aceleração da gravidade igual a 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, por qual distância horizontal, em metros, a água pode ser projetada?
Observação: Responda apenas com o valor numérico, e uma casa decimal, não é necessário incluir as unidades. Exemplo: 1,0
Resposta: □

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Diâmetro da mangueira: 2,50\\ \mathrm{cm}.
  • Volume do balde: 30,0\\ \mathrm{L}.
  • Tempo para encher o balde: 1,00\\ \mathrm{min}.
  • Área da abertura do bocal (seção transversal): 0,500\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Altura do ponto de saída da água acima do solo: 1,5\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: 9,8\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
O enunciado pergunta: por qual distância horizontal a água é projetada (ou seja, o alcance horizontal da gota/fluxo até atingir o solo). Resposta pedida: apenas o valor numérico com uma casa decimal.

Passo 2

Primeiro calcular a vazão volumétrica média Q (volume por unidade de tempo) fornecida pela mangueira, porque essa vazão determina a velocidade do jato no bocal via conservação de massa.
  • Converter o volume para metros cúbicos:
30,0\\ \mathrm{L}=30,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}=0,0300\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Converter o tempo para segundos:
1,00\\ \mathrm{min}=60,0\\ \mathrm{s}.
  • Calcular a vazão:
Q=\frac{\text{volume}}{\text{tempo}}=\frac{0,0300\\ \mathrm{m}^{3}}{60,0\\ \mathrm{s}}=5,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
Explicação didática: vazão Q é o volume que sai por segundo; aqui dividimos o volume total pelo tempo que levou para encher.

Passo 3

Converter a área do bocal para unidades do SI ( \mathrm{m}^{2}), porque usaremos Q em \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • 1\\ \mathrm{cm}^{2}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}, logo
0,500\\ \mathrm{cm}^{2}=0,500\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}=5,00\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Usar conservação de massa (continuidade) para achar a velocidade média do jato ao sair pelo bocal.
  • Princípio: para fluxo incompressível e estacionário, a vazão é Q=A\cdot v, onde:
    • Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}),
    • A é a área da seção do bocal ( \mathrm{m}^{2}),
    • v é a velocidade média do fluido na seção ( \mathrm{m}/\mathrm{s}).
  • Isolando v:
v=\frac{Q}{A}.
  • Substituindo Q=5,00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} e A=5,00\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}:
v=\frac{5,00\times10^{-4}}{5,00\times10^{-5}}=10{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Comentário prático: o diâmetro da mangueira ficou irrelevante numericamente porque a vazão foi dada pelo enchimento do balde; o que importa para o alcance é a velocidade no bocal.

Passo 5

Determinar o tempo que a água permanece no ar (tempo de queda) usando a movimentação vertical sob a gravidade.
  • Modelagem: a água sai horizontalmente (com componente vertical inicial nula), a queda vertical é um movimento uniformemente acelerado com aceleração g. A equação do deslocamento vertical y (positiva para baixo) é
y=\frac{1}{2}gt^{2}.
  • Queremos o tempo t para o corpo descer a altura h=1,5\\ \mathrm{m}. Assim,
1,5=\frac{1}{2}\,9,8\,t^{2}\quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
Explicação didática: como a velocidade inicial vertical é zero, o deslocamento ao cair depende só de g e do tempo; isolamos t resolvendo a equação quadrática simples.

Passo 6

Calcular numericamente o tempo de queda t.
t=\sqrt{\frac{2\cdot1,5}{9,8}}=\sqrt{\frac{3,0}{9,8}}=\sqrt{0,306122\ldots}=0,553\\ \mathrm{s}\quad(\text{aprox.}).
Detalhe: mantive 3 casas significativas aqui para não perder precisão antes da multiplicação final.

Passo 7

Calcular a distância horizontal percorrida: x=v\cdot t.
  • A componente horizontal da velocidade é constante (não há aceleração horizontal importante), igual a v calculado no bocal. Logo
x=v\,t.
  • Substituindo v=10{,}0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e t=0,553\\ \mathrm{s}:
x=10{,}0\times0,553=5,53\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Arredondar conforme pedido: uma casa decimal. Então 5,53\\ \mathrm{m} arredonda para 5,5.

Resposta

5,5

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