Um esquiador desliza uma pista, principiando um salto, na direção horizontal com uma velocidade v_{0 x}=25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A pista a sua frente tem uma inclinação de \theta=35^{\circ}. Determinar em que ponto o esqioador retornará na pista, a distancia percorrida, o tempo de voo e a velocidade v_{y} quando o esquiador volta a pista.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede os itens abaixo (tudo medido a partir do ponto de salto, que será a origem):
  • Velocidade inicial horizontal: v_{0x}=25\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente vertical inicial: v_{0y}=0\\ \mathrm{m/s} (o salto é horizontal).
  • Inclinação da pista adiante: \theta=35^\circ (a pista desce com esse ângulo em relação à horizontal).
  • Aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (usada nos cálculos).
O enunciado pede:
  1. Em que ponto da pista o esquiador retorna (posição do impacto em relação ao ponto de salto).
  2. A distância percorrida (interpretei como a distância ao longo da superfície da pista, desde o salto até o ponto de retorno).
  3. O tempo de voo.
  4. A componente vertical da velocidade v_{y} no instante em que o esquiador volta à pista.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e equações básicas (aula rápida de cinemática de projéteis).
  • Coloco a origem no ponto do salto, o eixo x apontando horizontalmente para frente (na direção do movimento inicial) e o eixo y apontando para cima.
  • Movimento do centro de massa do esquiador (projeto sem resistência do ar) tem equações: x(t)=v_{0x}\,t,
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
Aqui x(t) e y(t) são as coordenadas horizontais e verticais no tempo t, v_{0x} e v_{0y} são as componentes iniciais da velocidade e g é a aceleração da gravidade.
  • Como o salto é horizontal, v_{0y}=0, então fica y(t)=-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.

Passo 3

Equação da pista (linha inclinada) e condição de impacto (aula rápida sobre interceptar uma reta).
  • A pista é uma reta que desce com ângulo \theta. No nosso sistema isso corresponde à equação y_{\text{pista}}(x)=-x\tan\theta,porque para cada avanço horizontal x a altura diminui em x\tan\theta.
  • O esquiador retorna à pista quando a trajetória do projétil encontra essa reta, ou seja quando y(t)=y_{\text{pista}}(x(t)).

Passo 4

Encontrar o tempo de impacto (resolver a equação do encontro).
  • Substituindo x(t)=v_{0x}t e y(t)=-\tfrac{1}{2}g t^{2} na condição de encontro: -\tfrac{1}{2}g\,t^{2} = -\big(v_{0x}t\big)\tan\theta.
  • Multiplicando por -1: \tfrac{1}{2}g\,t^{2} = v_{0x}t\tan\theta.
  • Uma solução óbvia é t=0 (o ponto de partida). A outra solução não nula vem dividindo por t: \tfrac{1}{2}g\,t = v_{0x}\tan\thetae portanto t=\frac{2v_{0x}\tan\theta}{g}.Esta é a expressão geral do tempo de voo até impactar uma rampa com ângulo \theta quando o lançamento é horizontal.

Passo 5

Calcular numericamente o tempo de voo (substituição e contas explicadas).
  • Substituo v_{0x}=25\\ \mathrm{m/s}, \theta=35^\circ e g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Primeiro calcule \tan 35^\circ. Usando valor tabelado: \tan 35^\circ \approx 0,7002075.
  • Agora o tempo: t=\frac{2\cdot 25\cdot 0,7002075}{9,8} =\frac{35,010375}{9,8}\approx 3,5719\\ \mathrm{s}.Arredondando convenientemente: t\approx 3,572\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Calcular a posição do impacto: x (horizontal) e y (vertical) (passo a passo).
  • A posição horizontal é x=v_{0x}\,t=25\cdot 3,5718849\ldots \approx 89,297\\ \mathrm{m}.Vou arredondar para x\approx 89,30\\ \mathrm{m}.
  • A posição vertical é (usar y=-\tfrac{1}{2}g t^{2} ou y=-x\tan\theta, ambas dão o mesmo): y=-\tfrac{1}{2}g t^{2}=-\tfrac{1}{2}\cdot 9,8\cdot (3,5718849)^{2}\approx -62,50\\ \mathrm{m}.Ou diretamente y=-x\tan\theta\approx -89,297\cdot 0,7002075\approx -62,50\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a distância ao longo da pista (explicação geométrica e cálculo).
  • A distância s ao longo da superfície inclinada desde a origem até o ponto de impacto está relacionada a x pela projeção: x=s\cos\theta \quad\Rightarrow\quad s=\frac{x}{\cos\theta}.Porque s é a hipotenusa do triângulo cuja projeção horizontal é x.
  • Calcule \cos 35^\circ\approx 0,8191520. Então s=\frac{89,297\\ \mathrm{m}}{0,8191520}\approx 109,00\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular a componente vertical da velocidade ao impacto (aula rápida sobre componentes de velocidade).
  • A componente vertical da velocidade no instante t é dada por v_{y}(t)=v_{0y}-g\,t.Como v_{0y}=0, temos v_{y}=-g\,t.
  • Substituindo t\approx 3,5718849\\ \mathrm{s}: v_{y}=-9,8\cdot 3,5718849\approx -35,02\\ \mathrm{m/s}.O sinal negativo indica que a componente vertical está dirigida para baixo no momento do impacto.

Resposta

Ponto de retorno (coord. relativas ao salto): x=89,30\\ \mathrm{m},\\ y=-62,50\\ \mathrm{m}
Distância ao longo da pista desde o salto: s=109,00\\ \mathrm{m}
Tempo de voo: t=3,572\\ \mathrm{s}
Componente vertical da velocidade ao voltar à pista: v_{y}=-35,02\\ \mathrm{m/s}

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