Um esquiador desliza uma pista, principiando um salto, na direção horizontal com uma velocidade
. A pista a sua frente tem uma inclinação de
. Determinar em que ponto o esqioador retornará na pista, a distancia percorrida, o tempo de voo e a velocidade
quando o esquiador volta a pista.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede os itens abaixo (tudo medido a partir do ponto de salto, que será a origem):
- Velocidade inicial horizontal:
. - Componente vertical inicial:
(o salto é horizontal). - Inclinação da pista adiante:
(a pista desce com esse ângulo em relação à horizontal). - Aceleração da gravidade:
(usada nos cálculos).
O enunciado pede:
- Em que ponto da pista o esquiador retorna (posição do impacto em relação ao ponto de salto).
- A distância percorrida (interpretei como a distância ao longo da superfície da pista, desde o salto até o ponto de retorno).
- O tempo de voo.
- A componente vertical da velocidade
no instante em que o esquiador volta à pista.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e equações básicas (aula rápida de cinemática de projéteis).
- Coloco a origem no ponto do salto, o eixo
apontando horizontalmente para frente (na direção do movimento inicial) e o eixo apontando para cima. - Movimento do centro de massa do esquiador (projeto sem resistência do ar) tem equações:
Aqui
e
são as coordenadas horizontais e verticais no tempo
,
e
são as componentes iniciais da velocidade e
é a aceleração da gravidade.
- Como o salto é horizontal,
, então fica
Passo 3
Equação da pista (linha inclinada) e condição de impacto (aula rápida sobre interceptar uma reta).
- A pista é uma reta que desce com ângulo
. No nosso sistema isso corresponde à equação porque para cada avanço horizontal a altura diminui em . - O esquiador retorna à pista quando a trajetória do projétil encontra essa reta, ou seja quando
Passo 4
Encontrar o tempo de impacto (resolver a equação do encontro).
- Substituindo
e na condição de encontro: - Multiplicando por
: - Uma solução óbvia é
(o ponto de partida). A outra solução não nula vem dividindo por : e portanto Esta é a expressão geral do tempo de voo até impactar uma rampa com ângulo quando o lançamento é horizontal.
Passo 5
Calcular numericamente o tempo de voo (substituição e contas explicadas).
- Substituo
, e . - Primeiro calcule
. Usando valor tabelado: - Agora o tempo:
Arredondando convenientemente: .
Passo 6
Calcular a posição do impacto:
(horizontal) e
(vertical) (passo a passo).
- A posição horizontal é
Vou arredondar para . - A posição vertical é (usar
ou , ambas dão o mesmo): Ou diretamente .
Passo 7
Calcular a distância ao longo da pista (explicação geométrica e cálculo).
- A distância
ao longo da superfície inclinada desde a origem até o ponto de impacto está relacionada a pela projeção: Porque é a hipotenusa do triângulo cuja projeção horizontal é . - Calcule
. Então
Passo 8
Calcular a componente vertical da velocidade ao impacto (aula rápida sobre componentes de velocidade).
- A componente vertical da velocidade no instante
é dada por Como , temos - Substituindo
: O sinal negativo indica que a componente vertical está dirigida para baixo no momento do impacto.
Resposta
Ponto de retorno (coord. relativas ao salto):
Distância ao longo da pista desde o salto:
Tempo de voo:
Componente vertical da velocidade ao voltar à pista:
Distância ao longo da pista desde o salto:
Tempo de voo:
Componente vertical da velocidade ao voltar à pista: