Questão 7

Ainda não respondida
Um cano com diâmetro interno de 2,5 \mathrm{~cm} transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 0,90 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com uma pressão de 213 k P a. Se o cano se estreita para 1,2 c m e sobe para o segundo piso, que está a 8,2 m acima do ponto de entrada, qual será a pressão da água no segundo piso, em unidades de KPa?
Observação: Adote \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Responda apenas com o valor numérico e inteiro, não é necessário incluir a casa dos decimais. Exemplo: 1000
Resposta: □

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Diâmetro interno no ponto 1: d_1=2{,}5\\ \text{cm}=0{,}025\\ \text{m}.
    • Velocidade no ponto 1: v_1=0{,}90\\ \text{m/s}.
    • Pressão no ponto 1: P_1=213\\ \text{kPa}=213000\\ \text{Pa}.
    • Diâmetro interno no ponto 2: d_2=1{,}2\\ \text{cm}=0{,}012\\ \text{m}.
    • Diferença de altura: z_2-z_1=8{,}2\\ \text{m} (ponto 2 está acima do ponto 1).
    • Aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \text{m/s}^2.
    • Densidade da água (valor padrão para água incompressível): \rho=1000\\ \text{kg/m}^3.
  • O que é pedido:
    • A pressão da água no segundo piso, em unidades de kPa. Responder apenas com o valor numérico inteiro.

Passo 2

Primeiro conceito necessário: conservação de massa para fluido incompressível (equação da continuidade).
Explicação simples e intuitiva: para fluxo estacionário de um fluido incompressível, a vazão volumétrica é constante ao longo do cano; isso significa que a área da seção transversal vezes a velocidade é a mesma em qualquer ponto. Em símbolos:
A_1 v_1 = A_2 v_2.
Aqui A é a área da seção (m²) e v é a velocidade média (m/s). Para área de um tubo circular usamos A=\tfrac{\pi d^2}{4}, onde d é o diâmetro.
Como a \pi/4 cancela ao dividir as áreas, podemos usar a relação em termos dos diâmetros:
v_2 = v_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2.

Passo 3

Aplicando a continuidade com os números dados (tudo em SI):
\frac{d_1}{d_2}=\frac{0{,}025}{0{,}012}=\frac{25}{12}.
Logo
v_2 = v_1\left(\frac{25}{12}\right)^2 = 0{,}90\cdot\frac{625}{144} = \frac{9}{10}\cdot\frac{625}{144}=\frac{5625}{1440}=\frac{125}{32}.
Convertendo para decimal,
v_2=\frac{125}{32}=3{,}90625\\ \text{m/s}.

Passo 4

Segundo conceito necessário: equação de Bernoulli para um fluido incompressível, sem perdas por atrito, em regime estacionário entre dois pontos de uma mesma linha de corrente. A forma usada é:
P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g z_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g z_2,
onde:
  • P é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade (kg/m³),
  • v é a velocidade (m/s),
  • z é a cota vertical (m),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s²).
Queremos P_2. Isolando P_2:
P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g\left(z_1 - z_2\right).
Como z_2 - z_1 = 8{,}2\\ \text{m}, temos z_1 - z_2 = -8{,}2\\ \text{m}.

Passo 5

Agora substituímos os números (tudo em unidades SI, pressões em Pa).
Dinâmica (termo cinético):
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) = \tfrac{1}{2}\cdot1000\left((0{,}90)^2 - (3{,}90625)^2\right).
Calculemos passo a passo:
v_1^2 = 0{,}90^2 = 0{,}81, \qquad v_2^2 = 3{,}90625^2 = \frac{15625}{1024}=15{,}2734375.
Portanto
v_1^2 - v_2^2 = 0{,}81 - 15{,}2734375 = -14{,}4634375.
Multiplicando:
\tfrac{1}{2}\rho(v_1^2-v_2^2) = 500\cdot(-14{,}4634375) = -7231{,}71875\\ \text{Pa}.
Termo gravitacional (diferença de altura):
\rho g (z_1 - z_2) = 1000\cdot9{,}8\cdot(-8{,}2) = -80360\\ \text{Pa}.

Passo 6

Somando todos os termos para obter P_2:
P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho(v_1^2 - v_2^2) + \rho g (z_1 - z_2).
Substituindo valores:
P_2 = 213000 - 7231{,}71875 - 80360 = 213000 - 87591{,}71875 = 125408{,}28125\\ \text{Pa}.
Convertendo para kPa (dividir por 1000):
P_2 = 125{,}40828125\\ \text{kPa}\approx125{,}41\\ \text{kPa}.

Passo 7

O enunciado pede apenas o valor numérico inteiro em kPa. Arredondando para o inteiro mais próximo, o valor é 125.

Resposta

125

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