Questão 2
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Calcule a transformada de Laplace Inversa
L^-12 s+2s^2+2 s+5
Escolha uma opção:
a. 2 e^-t cos 4 t
b. 2 e^-t cos 2 t
c. 4 e^-t cos 4 t
d. e^-t cos 2 t
e. 2 e^-t sen 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
L^-1gl2s+2s^2+2s+5gr
O conteúdo é “inversão de Laplace” usando o método de completar o quadrado e identificação de padrões de funções exponenciais vezes cosseno ou seno.

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador:
s^2+2s+5 = (s+1)^2 + 4

Passo 3

Reescrevendo o numerador em função de s+1:
2s+2 = 2(s+1)
Logo podemos escrever
2s+2s^2+2s+5 = 2(s+1)(s+1)^2 + 2^2

Passo 4

Reconhecemos o padrão
Le^-atcos(bt) = s+a(s+a)^2+b^2
No nosso caso, a=1 e b=2, e há um fator 2 no numerador. Portanto
2(s+1)(s+1)^2+2^2 long<=ftrightarrow 2e^-tcos(2t)

Passo 5

Concluímos que
L^-1gl2s+2s^2+2s+5gr = 2e^-tcos(2t)

Resposta

b. 2e^-tcos(2t)

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