Questão 2

Ainda não respondida
Uma régua de 5,6 m é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiada no solo e depois liberada. Determine a velocidade, em m / s, da outra extremidade pouco antes de tocar o solo, supondo que a extremidade de apoio não escorrega.
Sugestão: Considere a régua como uma barra fina e use a lei de conservação de energia.
Dados:
\begin{aligned} & g=9,81 \frac{m}{s^{2}} \\\ & I=\frac{1}{3} m l^{2} \end{aligned}
Obs: Resposta com 1 algarismo após a vírgula. Ex: 4,7

Resposta:

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade, em \mathrm{m/s}, da extremidade livre de uma régua (barra fina) de comprimento \,l=5,6\\ \mathrm{m}\, pouco antes de tocar o solo, sabendo que a outra extremidade permanece presa (não escorrega) e que a régua é liberada a partir da posição vertical.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • l=5,6\\ \mathrm{m} (comprimento da régua);
  • g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (aceleração da gravidade);
  • momento de inércia em relação a uma extremidade: I=\dfrac{1}{3} m l^{2} (dado);
  • hipótese: barra uniforme, pivô sem atrito (energia mecânica conservada);
  • incógnita: velocidade linear v da extremidade livre pouco antes do impacto.

Passo 2

Ideia física e fórmula a usar: como a extremidade fixa não escorrega, o movimento é de rotação pura em torno do pivô. Ao cair da posição vertical para a horizontal, a barra perde energia potencial gravitacional que se transforma em energia cinética de rotação. Aplicamos a conservação da energia mecânica entre a posição inicial (vertical, repouso) e a final (quase horizontal):
\Delta U = K_{\text{rot}},
onde \Delta U é a perda de energia potencial do centro de massa e K_{\text{rot}}=\dfrac{1}{2}I\omega^{2} é a energia cinética rotacional da barra. Aqui \omega é a velocidade angular final.
Explicação do termo \Delta U: o centro de massa da barra, por ser uniforme, está a l/2 da extremidade fixa. Inicialmente o CM está a uma altura l/2 acima do solo; na posição horizontal (barra encostada no solo) o CM está, idealmente, na altura 0. Assim a perda de energia potencial ao cair é
\Delta U = m g \left(\frac{l}{2}\right).

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia explicitamente:
m g \left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2} I \omega^{2}.
Substituindo I=\dfrac{1}{3} m l^{2}:
m g \left(\frac{l}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} m l^{2}\right)\omega^{2}.
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro escrevendo o lado direito:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} m l^{2}\omega^{2}=\frac{1}{6} m l^{2}\omega^{2}.
Igualando e dividindo ambos os lados por m (massa cancela):
g\left(\frac{l}{2}\right)=\frac{1}{6} l^{2}\omega^{2}.
Dividindo ambos os lados por l:
\frac{g}{2}=\frac{1}{6} l \omega^{2}.
Multiplicando ambos os lados por 6:
3g = l \omega^{2}.
Logo
\omega^{2}=\frac{3g}{l}\qquad\Rightarrow\qquad \omega=\sqrt{\frac{3g}{l}}.

Passo 4

Relação entre velocidade linear da extremidade e velocidade angular: para um ponto a distância r=l do pivô vale v=\omega r=\omega l. Então
v=\omega l = l\sqrt{\frac{3g}{l}}=\sqrt{3 g l}.
Portanto derivamos a fórmula simples
v=\sqrt{3 g l}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos \,g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} e \,l=5,6\\ \mathrm{m}\,:
3 g l = 3 \cdot 9,81 \cdot 5,6 = 164,808.
Logo
v=\sqrt{164,808}\approx 12,8367\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando para um algarismo após a vírgula (conforme pedido), obtemos
v\approx 12,8\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

12,8\\ \mathrm{m/s}

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