Escreva e explique o que é a função de onda da Física Quântica, e que podemos obter a partir dela. (1 pto.)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (1) escrever o que é a função de onda na Física Quântica e (2) explicar o que podemos obter a partir dela. Não há outros dados numéricos. Vou então definir a função de onda, dar as fórmulas essenciais e mostrar, passo a passo, o que dela se extrai (probabilidades, valores médios, espectro de energias, evolução temporal, corrente de probabilidade, etc.).
Passo 2
Definição básica (o que é). A função de onda é uma função complexa que descreve o estado quântico de uma partícula (ou sistema). Denotamos por
a função de onda no espaço de posições e no tempo. Escrito de forma compacta:
Explicação didática: pense em
como uma “amplitude” que contém informação sobre onde a partícula pode ser encontrada e como ela evolui no tempo. Ela pode ser complexa (tem parte real e imaginária), e isso permite fenômenos de interferência.
Passo 3
Regra de Born — como obter probabilidades. A interpretação física fundamental da função de onda é dada pela regra de Born:
Isto significa que a probabilidade de encontrar a partícula dentro de uma região
do espaço no tempo
é
Explicação didática: para obter uma probabilidade você calcula o módulo ao quadrado da função de onda e integra na região que te interessa. Por isso
deve ser normalizada, ou seja,
pois a partícula deve estar em algum lugar.
Passo 4
Como a função de onda evolui no tempo. A equação que governa
é a equação de Schrödinger dependente do tempo:
onde
é o operador Hamiltoniano do sistema (por exemplo, para uma partícula sem spin em 1D com potencial
temos
). Explicação didática: essa equação diz como a amplitude
“muda” no tempo; se soubermos
num instante inicial, podemos (em princípio) calcular
em instantes futuros.
Passo 5
Estados estacionários e espectro de energia. Procurando soluções da forma separável
chega-se à equação independente do tempo:
Explicação didática: as
são autofunções do Hamiltoniano e os
são autovalores (possíveis energias medíveis). Solucionando esse problema de autovalores obtemos o espectro de energia do sistema. Qualquer estado pode ser expandido na base desses autovetores:
ou, se o espectro for contínuo, por uma integral.
Passo 6
Observáveis e valores médios (o que mais se obtém). Cada grandeza física mensurável
é representada por um operador linear
. O valor esperado (médio) de
no estado
é
Exemplo concreto: para posição
e para momento unidimensional
. A variância (incerteza) é
Explicação didática: com
você calcula médias e incertezas de qualquer observável aplicando o operador correspondente, multiplicando por
e integrando.
Passo 7
Probabilidades discretas e colapso (medição). Se
é uma base de autofunções de
com autovalores
, expandindo
a probabilidade de medir
é
. Após a medição (segundo a postulação usual) o sistema fica no estado
correspondente. Explicação didática: a função de onda fornece as probabilidades de resultados distintos de medidas; o ato de medir seleciona um dos autovalores.
Passo 8
Corrente de probabilidade e conservação. A função de onda também permite definir uma corrente de probabilidade
tal que vale a equação de continuidade
Para uma partícula de massa
sem potencial,
Explicação didática: isso garante conservação da probabilidade (o que sai é o que entra) e conecta fluxo de probabilidade com
.
Passo 9
Observações práticas e interpretativas.
- A função de onda em si não é diretamente mensurável; o que medimos são probabilidades e médias extraídas de
. - Uma fase global
em não altera e, portanto, não afeta probabilidades; fases relativas entre componentes sim afetam interferências. - Exemplos de uso prático: calcular
para saber a probabilidade no intervalo ; calcular ou encontrar os resolvendo .
Resposta
A função de onda é a função complexa
que descreve o estado quântico de um sistema; sua interpretação probabilística é dada pela regra de Born,
, que fornece a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em
no tempo
. A partir de
podemos obter: probabilidades de encontrar a partícula em regiões do espaço, valores médios e incertezas de observáveis pelo cálculo
, o espectro de energias e estados estacionários resolvendo
, a evolução temporal pela equação de Schrödinger
e a corrente de probabilidade
que assegura conservação da probabilidade.