Dois corpos de 2,0 \mathrm{~kg}, \mathrm{~A} e B , sofrem uma colisão. As velocidades antes da colisão são \vec{v}_{A}= (15 \hat{\imath}+30 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s} e \vec{v}_{B}=(-10 \hat{\imath}+5,0 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Após a colisão, \vec{v}_{A}=(-5,0 \hat{\imath}+20 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine:
a) a velocidade final de B;
b) a variação da energia cinética total (incluindo o sinal).

Passo 1

O enunciado fornece os dados e pede duas coisas. Vou listar claramente tudo que foi dado e o que precisa ser encontrado.
Dados (peguei estes valores do enunciado):
  • Massa do corpo A: m_A = 2,0\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do corpo B: m_B = 2,0\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade de A antes da colisão: \vec{v}_{A,i} = (15\hat{\imath} + 30\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade de B antes da colisão: \vec{v}_{B,i} = (-10\hat{\imath} + 5,0\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade de A após a colisão: \vec{v}_{A,f} = (-5,0\hat{\imath} + 20\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) determinar a velocidade final de B, \vec{v}_{B,f};
(b) determinar a variação da energia cinética total do sistema (incluindo o sinal), \Delta K = K_f - K_i.

Passo 2

Princípio usado (aqui explico a fórmula e o que cada símbolo significa).
  • Conservação do momento linear: se não há forças externas resultantes, o momento total do sistema antes da colisão é igual ao momento total depois. Em símbolos:
\vec{p}_{\text{total},i} = \vec{p}_{\text{total},f}.
  • O momento de cada corpo é \vec{p} = m\,\vec{v}, onde m é a massa e \vec{v} a velocidade do corpo. Cada componente vetorial é conservada separadamente.
    Vou calcular os momentos iniciais de A e B usando \vec{p}=m\vec{v}.

Passo 3

Calcular momento inicial de A:
\vec{p}_{A,i} = m_A \vec{v}_{A,i} = 2,0\,(15\hat{\imath}+30\hat{\jmath}) = (30\hat{\imath}+60\hat{\jmath})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Calcular momento inicial de B:
\vec{p}_{B,i} = m_B \vec{v}_{B,i} = 2,0\,(-10\hat{\imath}+5,0\hat{\jmath}) = (-20\hat{\imath}+10\hat{\jmath})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Somar para obter o momento total inicial:
\vec{p}_{\text{total},i} = \vec{p}_{A,i}+\vec{p}_{B,i} = (30-20)\hat{\imath} + (60+10)\hat{\jmath} = (10\hat{\imath}+70\hat{\jmath})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Calcular momento final conhecido de A:
\vec{p}_{A,f} = m_A \vec{v}_{A,f} = 2,0\,(-5,0\hat{\imath}+20\hat{\jmath}) = (-10\hat{\imath}+40\hat{\jmath})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Pelo princípio da conservação do momento:
\vec{p}_{\text{total},f} = \vec{p}_{A,f} + \vec{p}_{B,f} = \vec{p}_{\text{total},i}.
Isolando \vec{p}_{B,f}:
\vec{p}_{B,f} = \vec{p}_{\text{total},i} - \vec{p}_{A,f}.

Passo 5

Substituir os vetores calculados para achar \vec{p}_{B,f}:
\vec{p}_{B,f} = (10\hat{\imath}+70\hat{\jmath}) - (-10\hat{\imath}+40\hat{\jmath}) = (10+10)\hat{\imath} + (70-40)\hat{\jmath} = (20\hat{\imath}+30\hat{\jmath})\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora obter a velocidade final de B dividindo pelo valor da massa m_B=2,0\\ \mathrm{kg}:
\vec{v}_{B,f} = \frac{\vec{p}_{B,f}}{m_B} = \frac{1}{2,0}(20\hat{\imath}+30\hat{\jmath}) = (10\hat{\imath}+15\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora calcular a variação da energia cinética total. Primeiro lembro a fórmula e o que cada símbolo significa:
  • Energia cinética de um corpo: K = \dfrac{1}{2} m v^{2}, onde v^{2} é o quadrado da norma da velocidade: se \vec{v}=(v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}), então v^{2}=v_x^{2}+v_y^{2}.
  • A variação total do sistema é \Delta K = K_f - K_i, somando as energias dos dois corpos antes e depois.
Vou calcular passo a passo.

Passo 7

Calcular energias cinéticas iniciais (cada corpo):
Para A (inicial):
v_{A,i}^{2} = 15^{2} + 30^{2} = 225 + 900 = 1125.
K_{A,i} = \tfrac{1}{2} m_A v_{A,i}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2,0 \cdot 1125 = 1\cdot 1125 = 1125\\ \mathrm{J}.
Para B (inicial):
v_{B,i}^{2} = (-10)^{2} + 5,0^{2} = 100 + 25 = 125.
K_{B,i} = \tfrac{1}{2} m_B v_{B,i}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2,0 \cdot 125 = 1\cdot 125 = 125\\ \mathrm{J}.
Energia cinética total inicial:
K_i = K_{A,i}+K_{B,i} = 1125 + 125 = 1250\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcular energias cinéticas finais:
Para A (final):
v_{A,f}^{2} = (-5,0)^{2} + 20^{2} = 25 + 400 = 425.
K_{A,f} = \tfrac{1}{2} m_A v_{A,f}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2,0 \cdot 425 = 1\cdot 425 = 425\\ \mathrm{J}.
Para B (final) usando a \vec{v}_{B,f} encontrada:
v_{B,f}^{2} = 10^{2} + 15^{2} = 100 + 225 = 325.
K_{B,f} = \tfrac{1}{2} m_B v_{B,f}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2,0 \cdot 325 = 1\cdot 325 = 325\\ \mathrm{J}.
Energia cinética total final:
K_f = K_{A,f}+K_{B,f} = 425 + 325 = 750\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Calcular a variação da energia cinética total:
\Delta K = K_f - K_i = 750 - 1250 = -500\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o resultado negativo significa que 500\\ \mathrm{J} de energia cinética foram dissipados (transformados em outras formas de energia, por exemplo calor, som, deformação), ou seja, a colisão foi parcialmente inelástica.

Resposta

\vec{v}_{B,f} = (10\hat{\imath}+15\hat{\jmath})\\ \mathrm{m/s}
\Delta K = -500\\ \mathrm{J}

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