Questão 5 | Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).
Marcar questão
Considere que um elétrons está aprisionado em um poço de largura
nm
e sua função de onda dentro do poço é dada por
e nula para regiões externas ao poço. Qual é a probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado (
) na região entre
e
?
Resposta: □
Marcar questão
e sua função de onda dentro do poço é dada por
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de encontrar o elétron, no estado com
, na região entre
e
. As informações fornecidas são:
- Largura do poço:
(valor numérico do comprimento não será necessário porque os limites são dados em fração de ); - Função de onda dentro do poço (zero fora):
- Queremos o caso
e a probabilidade entre e .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo):
- A probabilidade de detectar a partícula entre
e é dada por
- Aqui
é a densidade de probabilidade: como é real neste caso, . - Para
plugamos a função de onda:
- Então a probabilidade pedida é
Isso é só aplicar a definição de probabilidade para função de onda normalizada.
Passo 3
Fazer a integral com mudança de variável (explico cada passo):
- Defina a variável de substituição
Então
- Os limites em
transformam-se em :
- Substituindo na integral:
Repare que os fatores em
e constantes simplificaram.
Passo 4
Reduzir a integral usando identidade trigonométrica:
- Usar a identidade
- Substituindo:
- Calcule a integral explícita:
Portanto
Passo 5
Simplificar a expressão e calcular numericamente (mostrando os passos):
- Observe que
. Então
- Separando termos:
- Agora calculo numérico de
. Usando aproximação (converter para radianos já está implícito), tem-se
- Logo
Calcule
. Então
- Portanto
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida:
- O resultado indica que a probabilidade de encontrar o elétron entre
e no estado é aproximadamente . - Faz sentido físico: para
a densidade tem um nó em e outro em e uma região de maior densidade antes de ; integrar até captura quase metade da probabilidade, daí o valor próximo a .