Questão 5 | Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).
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Considere que um elétrons está aprisionado em um poço de largura
L=150
nm
e sua função de onda dentro do poço é dada por
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right)
e nula para regiões externas ao poço. Qual é a probabilidade de detectar o elétron no primeiro estado excitado ( \mathrm{n}=2 ) na região entre
x_{1}=0,00
e
x_{2}=0,41 L
?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de encontrar o elétron, no estado com n=2, na região entre x_{1}=0,00 e x_{2}=0,41\,L. As informações fornecidas são:
  • Largura do poço: L=150\\ \text{nm} (valor numérico do comprimento não será necessário porque os limites são dados em fração de L);
  • Função de onda dentro do poço (zero fora):
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
  • Queremos o caso n=2 e a probabilidade entre x=0 e x=0,41\,L.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo):
  • A probabilidade de detectar a partícula entre x=a e x=b é dada por
P(a\le x\le b)=\int_{a}^{b}|\psi(x)|^{2}\,dx.
  • Aqui |\psi(x)|^{2} é a densidade de probabilidade: como \psi é real neste caso, |\psi|^{2}=\psi^{2}.
  • Para n=2 plugamos a função de onda:
\psi_{2}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{L}x\right).
  • Então a probabilidade pedida é
P=\int_{0}^{0,41L}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi}{L}x\right)\right)^{2}dx =\int_{0}^{0,41L}\frac{2}{L}\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{2\pi}{L}x\right)\,dx.
Isso é só aplicar a definição de probabilidade para função de onda normalizada.

Passo 3

Fazer a integral com mudança de variável (explico cada passo):
  • Defina a variável de substituição
u=\frac{2\pi}{L}x.
Então
du=\frac{2\pi}{L}dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{L}{2\pi}\,du.
  • Os limites em x transformam-se em u:
x=0 \Rightarrow u=0,\qquad x=0,41L \Rightarrow u=\frac{2\pi}{L}(0,41L)=0,82\pi.
  • Substituindo na integral:
P=\int_{u=0}^{u=0,82\pi}\frac{2}{L}\operatorname{sen}^{2}(u)\cdot\frac{L}{2\pi}\,du =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{0,82\pi}\operatorname{sen}^{2}(u)\,du.
Repare que os fatores em L e constantes simplificaram.

Passo 4

Reduzir a integral usando identidade trigonométrica:
  • Usar a identidade
\operatorname{sen}^{2}(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
  • Substituindo:
P=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{0,82\pi}\frac{1-\cos(2u)}{2}\,du =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{0,82\pi}\bigl(1-\cos(2u)\bigr)\,du.
  • Calcule a integral explícita:
\int_{0}^{0,82\pi}1\,du = 0,82\pi, \qquad \int_{0}^{0,82\pi}\cos(2u)\,du=\left[\frac{\operatorname{sen}(2u)}{2}\right]_{0}^{0,82\pi}=\frac{\operatorname{sen}(1,64\pi)-\operatorname{sen}(0)}{2}=\frac{\operatorname{sen}(1,64\pi)}{2}.
Portanto
P=\frac{1}{2\pi}\left(0,82\pi - \frac{\operatorname{sen}(1,64\pi)}{2}\right).

Passo 5

Simplificar a expressão e calcular numericamente (mostrando os passos):
  • Observe que \operatorname{sen}(1,64\pi)=\operatorname{sen}(\pi+0,64\pi)=-\operatorname{sen}(0,64\pi). Então
P=\frac{1}{2\pi}\left(0,82\pi - \frac{-\operatorname{sen}(0,64\pi)}{2}\right) =\frac{1}{2\pi}\left(0,82\pi + \frac{\operatorname{sen}(0,64\pi)}{2}\right).
  • Separando termos:
P=\frac{0,82\pi}{2\pi}+\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\operatorname{sen}(0,64\pi)}{2} =0,41+\frac{1}{4\pi}\operatorname{sen}(0,64\pi).
  • Agora calculo numérico de \operatorname{sen}(0,64\pi). Usando aproximação (converter para radianos já está implícito), tem-se
\operatorname{sen}(0,64\pi)\approx 0,904\quad(\text{aproximação numérica}).çãé
  • Logo
P\approx 0,41+\frac{1}{4\pi}\cdot 0,904.
Calcule \frac{1}{4\pi}\approx\frac{1}{12,5664}\approx 0,079577. Então
\frac{1}{4\pi}\cdot 0,904\approx 0,079577\times 0,904\approx 0,07198.
  • Portanto
P\approx 0,41+0,07198\approx 0,48198\approx 0,482.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida:
  • O resultado indica que a probabilidade de encontrar o elétron entre x=0 e x=0,41L no estado n=2 é aproximadamente 48{,}2\%.
  • Faz sentido físico: para n=2 a densidade |\psi_{2}|^{2} tem um nó em x=0 e outro em x=L e uma região de maior densidade antes de x=0,5L; integrar até 0,41L captura quase metade da probabilidade, daí o valor próximo a 0,48.

Resposta

P\approx 0,482 (ou 48{,}2\%)

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