Uma partícula com energia
eV se aproxima de uma barreira de potencial de altura
eV. De acordo com a mecânica quântica, esiste um a probabilidade finita de que a partícula tunele através da barreira. Se a altura da barreira for lentamente diminuida, o que se pode afirmar sobre a probabilidade de que a partícula seja refletida na barreira?
Escolha uma opção:
◯ a. A probabilidade diminuirá.
◯ b. A probabilidade aumentará.
◯ c. A probabilidade não será alterada.
◯ d. Não temos informação suficiente dada no enunciado para podermos afirmar se haverá alteração na probabilidade.
◯ a. A probabilidade diminuirá.
◯ b. A probabilidade aumentará.
◯ c. A probabilidade não será alterada.
◯ d. Não temos informação suficiente dada no enunciado para podermos afirmar se haverá alteração na probabilidade.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- Energia da partícula:
. - Altura inicial da barreira:
. - A barreira tem sua altura lentamente diminuída (o enunciado não especifica largura ou forma da barreira).
A pergunta: o que acontece com a probabilidade de a partícula ser refletida quando a altura da barreira é diminuída? (Opções: (a) diminui, (b) aumenta, (c) não se altera, (d) informação insuficiente.)
Observação importante (informação relevante que o enunciado não deu): a largura da barreira
e a forma (retangular, senoidal, etc.) não foram especificadas. Para responder de forma física e usual assumiremos que a forma e a largura da barreira permanecem fixas e que apenas
varia. Essa é a interpretação padrão quando se diz “diminuir a altura da barreira” sem mais detalhes.
Passo 2
Conceito físico e ideia qualitativa do tunelamento (explicação didática):
- Classicamente, se
a partícula não pode atravessar a barreira: seria totalmente refletida. - Na mecânica quântica, a função de onda dentro da barreira decai exponencialmente (região classically-forbidden), permitindo uma probabilidade finita de atravessar — é o efeito túnel.
- Para uma barreira retangular de largura
e altura com , a amplitude da função de onda atravessando a barreira contém um fator que decai como . A probabilidade de transmissão (tunneling) é proporcional a . Esta é uma fórmula aproximada válida quando a barreira é suficientemente larga/alta (regime de decaimento exponencial dominante).
Vou escrever isso em forma matemática e explicar cada símbolo em seguida.
Passo 3
Fórmulas essenciais e significado das variáveis:
- A constante de decaimento dentro da barreira é
onde
é a massa da partícula e
é a constante de Planck reduzida. Aqui
porque
.
- A transmissão aproximada (probabilidade de a partícula atravessar) é
onde
é a largura efetiva da barreira. A reflexão satisfaz (na ausência de outras perdas)
Explicação das fórmulas em palavras: dentro da barreira a solução da equação de Schrödinger é proporcional a
, ou seja, a magnitude da função de onda cai com comprimento de decaimento
. Quanto maior
e/ou maior
, menor a amplitude que sai do outro lado, logo menor
.
Passo 4
Dependência de
com
(passo matemático claro):
- Observe que
depende de por . À medida que diminui (mantendo fixo), o valor de diminui, logo diminui. - Como
, se diminui então o expoente fica menos negativo, e assim aumenta. Para argumento formal de sinal, pode-se derivar:
logo
Isto mostra que
decresce quando
aumenta; revertendo o raciocínio, quando
diminui,
aumenta.
Passo 5
Conclusão sobre a probabilidade de reflexão:
- Como
, se aumenta (quando diminui) então diminui. - Portanto, sob a suposição natural de que a largura e a forma da barreira permanecem constantes, quando a altura da barreira é lentamente diminuída a probabilidade de reflexão diminui.
Motivação final em linguagem direta e amigável: diminuir a altura da barreira torna mais fácil para a função de onda “vazar” através dela — mais transmissão, menos reflexão. É isso que acontece mesmo que a energia da partícula permaneça
e a barreira parta de
.
Resposta
a. A probabilidade diminuirá.