Questāo 1
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Sobre a Equação Diferencial Ordinária:
e da sua solução geral, assinale a(as) alternativa(s) correta(s)
Escolha uma ou mais:
a. É uma EDO não linear, mas é homogênea de grau 2.
b. A partir da mudança de variável
a solução geral em termos de x e u é dada por:
c. A partir da mudança de variável
a solução geral em termos de y e v é dada por:
.
d. A soluçaõ trivial
é solução desse
e. A partir da mudança de variável
a solução geral em termos de v e y é dada por:
Vale 1,00 ponto(s).
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Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a gente avalie quais alternativas (a) a (e) são corretas. Vou listar as informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação diferencial dada é
. - As alternativas envolvem classificações da EDO (linear/não linear, homogênea de grau 2), mudanças de variável
e e consequentes expressões/integrais, e se é solução. - Nosso trabalho: verificar cada alternativa, justificando passo a passo.
Passo 2
Primeiro vamos observar a forma da equação e verificar se ela é homogênea de grau 2 e se é linear ou não. Para isso escrevo a equação no formato diferencial total (colocando tudo do lado esquerdo):
Aqui podemos identificar as duas funções (coeficientes)
Definição prática: uma forma diferencial
é homogênea de grau
se
e
para todo
. Verifico:
Portanto
e
são homogêneos de grau
. Sobre linearidade: a equação envolve termos em
e
, não é da forma linear em
(ou linear em
), logo é uma EDO não linear. Conclusão imediata: a alternativa (a) — “É uma EDO não linear, mas é homogênea de grau 2.” — é verdadeira.
Passo 3
Pequena aula: método de substituição
para EDOs homogêneas.
- Quando
e são homogêneos do mesmo grau, a substituição reduz a equação a uma em e . Lembre: e substituímos na EDO e tentamos separar e .
Agora aplico
. Substituo na equação original escrita como
. Usando
e
obtenho
Fatorando
(assumindo provisoriamente
) e dividindo por
:
Distribuindo:
Agrupando os termos em
:
ou seja
Isolando
:
Simplifico o lado direito por fator comum
:
Dividindo ambos os lados por
:
pois
. Agora separo variáveis:
Passo 4
Integração do lado esquerdo — explico detalhadamente porque é o ponto que costuma travar.
Queremos calcular
Queremos calcular
Reescrevo a fração como
Assim
Agora faço a decomposição parcial para a segunda integral. Quero escrever
Multiplicando por
obtemos
. Igualando coeficientes:
- termo constante:
, - termo
: .
Logo
Assim
Para
faço
,
, então
.
Reunindo tudo:
Reunindo tudo:
Voltando à integral original:
Portanto a separação dá
ou exponenciando,
ou isolando
:
Isto é a expressão correta relacionando
e
após a substituição
. Reescrevendo em termos de
(lembrando
) obtém-se a família de curvas implícitas. Observação: essa forma é bem diferente da alternativa (b), que afirmava
. Portanto a alternativa (b) é falsa.
Passo 5
Agora trato a substituição alternativa
. Pequena aula: para uma EDO homogênea também podemos usar
(ou
), as duas são equivalentes e levam a integrais relacionadas; basta usar
.
Faço
. Então
e
. Substituo na equação original:
Dividindo por
(assumindo
) obtemos
Levo o termo com
para o mesmo lado:
Agora separo variáveis (coloco todos os
de um lado e
do outro):
Posso simplificar o fator:
Integro ambos os lados:
Para a integral do lado direito faço
,
, então
Logo
Ou isolando
:
Isto é a forma correta obtida com
. A alternativa (c) dizia que "a partir da mudança
a solução geral em termos de
e
é dada por
". Comparando com o que acabamos de obter, vemos que a alternativa (c) está incorreta (a solução correta tem
proporcional a
, não proporcional a
). A alternativa (e) afirmava a integral
ou seja, o integrando direito proposto por (e) é
. Isso é diferente do integrando correto que obtivemos
. Portanto a alternativa (e) também é falsa. (Resumo: (c) falsa e (e) falsa.)
Passo 6
Verificação da solução trivial
. Sempre que alguém pergunta se
é solução, fazemos o teste direto: se
então
. Substituindo na equação original escrita como forma diferencial,
com
e
obtemos
, expressão verdadeira. Assim
satisfaz a equação, ou seja, a solução trivial
é realmente uma solução. Logo a alternativa (d) é verdadeira.
Passo 7
Conclusão (resumo das alternativas avaliadas):
- (a) Verdadeira — demonstrado que a EDO é não linear e homogênea de grau
. - (b) Falsa — integração correta após
dá , diferente da forma dada em (b). - (c) Falsa — integração correta após
dá , não . - (d) Verdadeira —
satisfaz a equação. - (e) Falsa — o integrando apresentado é incorreto; o integrando correto é
.
Resposta
a
d
d