Questāo 1

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Sobre a Equação Diferencial Ordinária: \left(6 y^{2}-2 x^{2}\right) d y=-4 x y d x e da sua solução geral, assinale a(as) alternativa(s) correta(s)
Escolha uma ou mais:
\square a. É uma EDO não linear, mas é homogênea de grau 2.
\square b. A partir da mudança de variável y=u x a solução geral em termos de x e u é dada por: x=\left(u+u^{2}\right) e^{k} ; k \in R ; x>0
\square c. A partir da mudança de variável x=v y a solução geral em termos de y e v é dada por: y=\left(6+2 v^{2}\right) e^{k} ; y>0, k \in R.
\square d. A soluçaõ trivial y=0 é solução desse P V I
\square e. A partir da mudança de variável x=v y a solução geral em termos de v e y é dada por: \int \frac{d y}{y}=-\int \frac{\left(3 v^{2}\right)}{v\left(3 v^{2}+1\right)} d v

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(6 y^{2}-2 x^{2})\,dy = -4 x y\,dx
e pede que a gente avalie quais alternativas (a) a (e) são corretas. Vou listar as informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação diferencial dada é (6 y^{2}-2 x^{2})\,dy = -4 x y\,dx.
  • As alternativas envolvem classificações da EDO (linear/não linear, homogênea de grau 2), mudanças de variável y=ux e x=vy e consequentes expressões/integrais, e se y=0 é solução.
  • Nosso trabalho: verificar cada alternativa, justificando passo a passo.

Passo 2

Primeiro vamos observar a forma da equação e verificar se ela é homogênea de grau 2 e se é linear ou não. Para isso escrevo a equação no formato diferencial total (colocando tudo do lado esquerdo):
4 x y\,dx + (6 y^{2}-2 x^{2})\,dy = 0.
Aqui podemos identificar as duas funções (coeficientes)
M(x,y)=4xy,\qquad N(x,y)=6y^{2}-2x^{2}.
Definição prática: uma forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy é homogênea de grau n se M(tx,ty)=t^{n}M(x,y) e N(tx,ty)=t^{n}N(x,y) para todo t. Verifico:
M(tx,ty)=4 (tx)(ty)=t^{2}4xy = t^{2}M(x,y),
N(tx,ty)=6 (ty)^{2}-2 (tx)^{2}=t^{2}(6y^{2}-2x^{2})=t^{2}N(x,y).
Portanto M e N são homogêneos de grau 2. Sobre linearidade: a equação envolve termos em y^{2} e x^{2}, não é da forma linear em y (ou linear em x), logo é uma EDO não linear. Conclusão imediata: a alternativa (a) — “É uma EDO não linear, mas é homogênea de grau 2.” — é verdadeira.

Passo 3

Pequena aula: método de substituição y=ux para EDOs homogêneas.
  • Quando M e N são homogêneos do mesmo grau, a substituição \displaystyle y=u x reduz a equação a uma em u e x. Lembre: \displaystyle dy = u\,dx + x\,du e substituímos na EDO e tentamos separar u e x.
Agora aplico y=u x. Substituo na equação original escrita como (6y^2-2x^2)\,dy = -4xy\,dx. Usando \displaystyle dy = u\,dx + x\,du e y=u x obtenho
(6 u^{2}x^{2}-2 x^{2})(u\,dx + x\,du) = -4 x (u x)\,dx.
Fatorando x^{2} (assumindo provisoriamente x\neq 0) e dividindo por x^{2}:
(6u^{2}-2)(u\,dx + x\,du) = -4u\,dx.
Distribuindo:
(6u^{2}-2)u\,dx + (6u^{2}-2)x\,du = -4u\,dx.
Agrupando os termos em dx:
(6u^{3}-2u +4u)\,dx + (6u^{2}-2)x\,du = 0,
ou seja
(6u^{3}+2u)\,dx + (6u^{2}-2)x\,du = 0.
Isolando x\,du/dx:
(6u^{2}-2)\,x\frac{du}{dx} = - (6u^{3}+2u).
Simplifico o lado direito por fator comum 2u:
(6u^{2}-2)\,x\frac{du}{dx} = -2u(3u^{2}+1).
Dividindo ambos os lados por (6u^{2}-2)\,x:
\frac{du}{dx} = -\frac{2u(3u^{2}+1)}{(6u^{2}-2)\,x} = -\frac{u(3u^{2}+1)}{(3u^{2}-1)\,x},
pois 6u^{2}-2=2(3u^{2}-1). Agora separo variáveis:
\frac{3u^{2}-1}{u(3u^{2}+1)}\,du = -\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integração do lado esquerdo — explico detalhadamente porque é o ponto que costuma travar.
Queremos calcular
\int \frac{3u^{2}-1}{u(3u^{2}+1)}\,du.
Reescrevo a fração como
\frac{3u^{2}-1}{u(3u^{2}+1)} = \frac{3u^{2}+1 -2}{u(3u^{2}+1)} = \frac{3u^{2}+1}{u(3u^{2}+1)} - \frac{2}{u(3u^{2}+1)} = \frac{1}{u} - \frac{2}{u(3u^{2}+1)}.
Assim
\int \frac{3u^{2}-1}{u(3u^{2}+1)}\,du = \int \frac{du}{u} - 2\int \frac{du}{u(3u^{2}+1)}.
Agora faço a decomposição parcial para a segunda integral. Quero escrever
\frac{1}{u(3u^{2}+1)} = \frac{A}{u} + \frac{Bu}{3u^{2}+1}.
Multiplicando por u(3u^{2}+1) obtemos 1 = A(3u^{2}+1) + Bu^{2}. Igualando coeficientes:
  • termo constante: A = 1,
  • termo u^{2}: 3A + B = 0 \Rightarrow B = -3.
    Logo
\frac{1}{u(3u^{2}+1)} = \frac{1}{u} - \frac{3u}{3u^{2}+1}.
Assim
\int \frac{du}{u(3u^{2}+1)} = \int \frac{du}{u} - 3\int \frac{u\,du}{3u^{2}+1}.
Para \displaystyle \int \frac{u\,du}{3u^{2}+1} faço t=3u^{2}+1, dt=6u\,du, então \displaystyle \int \frac{u\,du}{3u^{2}+1} = \frac{1}{6}\ln|3u^{2}+1|.
Reunindo tudo:
\int \frac{du}{u(3u^{2}+1)} = \ln|u| - \frac{1}{2}\ln|3u^{2}+1| + C.
Voltando à integral original:
\int \frac{3u^{2}-1}{u(3u^{2}+1)}\,du = \ln|u| - 2\Big(\ln|u| - \tfrac{1}{2}\ln|3u^{2}+1|\Big) + C
= -\ln|u| + \ln|3u^{2}+1| + C = \ln\!\left(\frac{3u^{2}+1}{u}\right) + C.
Portanto a separação dá
\ln\!\left(\frac{3u^{2}+1}{u}\right) = -\ln|x| + C,
ou exponenciando,
\frac{3u^{2}+1}{u}\,x = C_{1},
ou isolando x:
x = C_{1}\,\frac{u}{3u^{2}+1}.
Isto é a expressão correta relacionando x e u após a substituição y=ux. Reescrevendo em termos de y (lembrando u=y/x) obtém-se a família de curvas implícitas. Observação: essa forma é bem diferente da alternativa (b), que afirmava x=(u+u^{2})e^{k}. Portanto a alternativa (b) é falsa.

Passo 5

Agora trato a substituição alternativa x=v y. Pequena aula: para uma EDO homogênea também podemos usar x=v y (ou y=ux), as duas são equivalentes e levam a integrais relacionadas; basta usar dx = v\,dy + y\,dv.
Faço x=v y. Então dx = v\,dy + y\,dv e x^{2}=v^{2}y^{2}. Substituo na equação original:
(6 y^{2}-2 v^{2}y^{2})\,dy = -4 (v y) y (v\,dy + y\,dv).
Dividindo por y^{2} (assumindo y\neq 0) obtemos
(6-2v^{2})\,dy = -4v^{2}\,dy -4v y\,dv.
Levo o termo com dy para o mesmo lado:
(6-2v^{2} +4v^{2})\,dy = -4v y\,dv
(6+2v^{2})\,dy = -4v y\,dv.
Agora separo variáveis (coloco todos os y de um lado e v do outro):
\frac{dy}{y} = -\frac{4v}{6+2v^{2}}\,dv.
Posso simplificar o fator:
\frac{dy}{y} = -\frac{2v}{3+v^{2}}\,dv.
Integro ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = -2\int \frac{v\,dv}{v^{2}+3}.
Para a integral do lado direito faço w=v^{2}+3, dw=2v\,dv, então
\ln|y| = -\ln(v^{2}+3) + C.
Logo
\ln\big(|y|(v^{2}+3)\big) = C\quad\Rightarrow\quad y(v^{2}+3)=C_{1}.
Ou isolando y:
y = \frac{C_{1}}{v^{2}+3}.
Isto é a forma correta obtida com x=v y. A alternativa (c) dizia que "a partir da mudança x=v y a solução geral em termos de y e v é dada por y=(6+2v^{2})e^{k}". Comparando com o que acabamos de obter, vemos que a alternativa (c) está incorreta (a solução correta tem y proporcional a 1/(v^{2}+3), não proporcional a 6+2v^{2}). A alternativa (e) afirmava a integral
\int \frac{dy}{y} = -\int \frac{3v^{2}}{v(3v^{2}+1)}\,dv,
ou seja, o integrando direito proposto por (e) é \displaystyle \frac{3v^{2}}{v(3v^{2}+1)}=\frac{3v}{3v^{2}+1}. Isso é diferente do integrando correto que obtivemos \displaystyle \frac{2v}{v^{2}+3}. Portanto a alternativa (e) também é falsa. (Resumo: (c) falsa e (e) falsa.)

Passo 6

Verificação da solução trivial y=0. Sempre que alguém pergunta se y=0 é solução, fazemos o teste direto: se y(x)\equiv 0 então dy/dx=0. Substituindo na equação original escrita como forma diferencial,
(6y^{2}-2x^{2})\,dy + 4xy\,dx = 0,
com y=0 e dy=0 obtemos 0+0=0, expressão verdadeira. Assim y\equiv 0 satisfaz a equação, ou seja, a solução trivial y=0 é realmente uma solução. Logo a alternativa (d) é verdadeira.

Passo 7

Conclusão (resumo das alternativas avaliadas):
  • (a) Verdadeira — demonstrado que a EDO é não linear e homogênea de grau 2.
  • (b) Falsa — integração correta após y=ux x = C\,\dfrac{u}{3u^{2}+1}, diferente da forma dada em (b).
  • (c) Falsa — integração correta após x=vy y=\dfrac{C}{v^{2}+3}, não y=(6+2v^{2})e^{k}.
  • (d) Verdadeira — y\equiv 0 satisfaz a equação.
  • (e) Falsa — o integrando apresentado é incorreto; o integrando correto é \dfrac{2v}{v^{2}+3}.

Resposta

a
d

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