Represente graficamente e obtenha a série de Fourier de f(x)\) no intervalo dado:
\(f(x)= \begin{cases}1, & -2<x<-1 \\\\ -x, & -1 \leq x<0 \\\ x, & 0 \leq x<1 \\\\ 1, & 1 \leq x<2\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) representar graficamente a função dada no intervalo indicado e (2) obter a série de Fourier de f(x)\) no intervalo dado. As informações dadas são exatamente a definição por partes:
\[f(x)= \begin{cases} 1, & -2<x<-1,\\[4pt] -x, & -1\leq x<0,\\[4pt] x, & 0\leq x<1,\\[4pt] 1, & 1\leq x<2. \end{cases}
Observações importantes retiradas do enunciado:
O intervalo fornecido é (-2,2)\]. Para obter a série de Fourier usual assumimos a extensão periódica de período \(4 (período T=4).
A função está definida de forma que em -1, 0 e 1 as peças coincidem — portanto f é contínua nesses pontos internos ao período; os pontos -2 e 2 são as extremidades do intervalo fundamental e a série irá representar a extensão periódica (em descontinuidades a série converge para a média lateral).
Vou extrair todas as peças e usar integrais no intervalo [0,2] sempre que possível (simetrias ajudam).]
Passo 2
Qual fórmula de série de Fourier usar? Para uma função definida em (-L,L) com período 2L a série de Fourier é
No nosso caso L=2 (pois o intervalo é (-2,2)). Portanto a série terá termos \cos\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big) e \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{2}\big).
Passo 3
Verificando simetria (muito útil): calcule f(-x) e compare com f(x).
Para 0<x<1: f(x)=x. Então f(-x) para -1< -x<0 cai na segunda peça e f(-x)=-(-x)=x=f(x).
Para 1<x<2: f(x)=1. Então f(-x) para -2<-x<-1 cai na primeira peça e f(-x)=1=f(x).
Logo f(-x)=f(x) para todo x do intervalo de definição: a função é par. Conclusão útil:
\text{como }f\text{ é par: } b_n=0\quad\text{para todo }n,
e b_n=0 para todo n. Comentário sobre convergência: a série converge pontualmente para f(x) em todos os pontos onde f é contínua e, nos pontos de descontinuidade da extensão periódica, converge para a média dos limites laterais (mas a função dada é essencialmente contínua dentro do período salvo o empacotamento no ponto x=\pm2 na extensão).
Resposta
Gráfico: função par com f(x)=1 para -2<x<-1 e 1\le x<2, f(x)=-x para -1\le x<0 e f(x)=x para 0\le x<1 (peça linear no centro e constantes nas extremidades; extensão periódica de período 4).
Série de Fourier: