Represente graficamente e obtenha a série de Fourier de f(x)\) no intervalo dado: \(f(x)= \begin{cases}x-1, & -\pi<x<0 \\\ x+1, & 0 \leq x<\pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: representar graficamente f\) no intervalo dado e obter a série de Fourier de \(f\) nesse intervalo. As informações dadas são: \[f(x)= \begin{cases}x-1, & -\pi<x<0,\\[4pt] x+1, & 0 \leq x<\pi,\end{cases}
o intervalo de definição para a expansão é -\pi<x<\pi\] (série de Fourier com período \(2\pi). Não há outras condições explícitas. Vou usar só esses dados para construir o gráfico (na forma descrita) e calcular os coeficientes da série.]

Passo 2

Descrição do gráfico em -\pi<x<\pi (representação gráfica):\n
  • Para -\pi<x<0, a função é a reta f(x)=x-1. Em particular f(-\pi)=-\pi-1 (valor à esquerda de -\pi na extensão periódica) e \lim_{x\to0^-}f(x)=-1.\n
  • Para 0\le x<\pi, a função é a reta f(x)=x+1. Em particular \lim_{x\to0^+}f(x)=1 e f(\pi^-)=\pi+1.\n
    Observações importantes para o gráfico: há uma descontinuidade de salto em x=0, porque os limites laterais são -1 (pela esquerda) e 1 (pela direita). A extensão periódica de período 2\pi repetirá esse padrão a cada intervalo de comprimento 2\pi.

Passo 3

Fórmulas gerais da série de Fourier (periodo 2\pi) e significado dos coeficientes:\n
  • A série de Fourier de f em (- \pi,\pi) é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
  • Os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad(n\ge1),
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad(n\ge1).
Aqui a_0/2 é o termo constante médio, a_n mede a contribuição das cossenos de frequência n e b_n mede a contribuição das senos de frequência n.

Passo 4

Cálculo de a_0:\n
Usamos a definição e dividimos a integral nas duas partes onde f é dada: a_0=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}(x-1)\,dx+\int_{0}^{\pi}(x+1)\,dx\right).
Calcule cada integral: \int_{-\pi}^{0}(x-1)\,dx=\left[\tfrac{x^2}{2}-x\right]_{-\pi}^{0}=0-\left(\tfrac{\pi^2}{2}+\pi\right)=-\tfrac{\pi^2}{2}-\pi,
\int_{0}^{\pi}(x+1)\,dx=\left[\tfrac{x^2}{2}+x\right]_{0}^{\pi}=\tfrac{\pi^2}{2}+\pi.
Somando, a integral total é zero, logo a_0=\frac{1}{\pi}\cdot 0=0.
Portanto não há termo constante na série.

Passo 5

Cálculo de a_n (coeficientes dos cossenos):\n
Escrevemos a integral em duas partes: a_n=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}(x-1)\cos(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}(x+1)\cos(nx)\,dx\right).
Separe as contribuições de x\cos(nx) e de \cos(nx). Note que x\cos(nx) é uma função ímpar (produto de ímpar x por par \cos), então sua integral em [-\pi,\pi] é zero:
\int_{-\pi}^{\pi} x\cos(nx)\,dx=0.
Além disso, como \cos(nx) é função par,
\int_{-\pi}^{0} \cos(nx)\,dx=\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx,
e no soma aparece com sinais opostos (uma vez com -1 vindo do primeiro ramo e outra com +1 do segundo ramo), então a contribuição das constantes também se cancela. Conclusão:
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 6

Cálculo de b_n (coeficientes dos senos):\n
Escrevemos b_n=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{0}(x-1)\sin(nx)\,dx+\int_{0}^{\pi}(x+1)\sin(nx)\,dx\right).
Separe em partes como fizemos antes: b_n=\frac{1}{\pi}\Biggl(\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx \;+\;\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx \;-\;\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx\Biggr).
Agora calcule cada peça:\n
  1. A função x\sin(nx) é par (produto de ímpar por ímpar), então \int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Calcule \int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por integração por partes: tome u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim \int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx=\left.-\frac{x\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
A segunda integral \int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\dfrac{\sin(n\pi)-\sin0}{n}=0. Então \int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\frac{\pi(-1)^n}{n}.
Portanto \int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = 2\left(-\frac{\pi(-1)^n}{n}\right) = -\frac{2\pi(-1)^n}{n}.
  1. Calcule \int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx e \int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx. Temos \int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\frac{1-(-1)^n}{n},
\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx=\frac{-1+(-1)^n}{n}.
Então a diferença é \int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx-\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{n}.
  1. Somando as partes para b_n: b_n=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{2\pi(-1)^n}{n}+\frac{2(1-(-1)^n)}{n}\right).
Fatorando \dfrac{2}{n\pi}: b_n=\frac{2}{n\pi}\bigl(1-(1+\pi)(-1)^n\bigr).

Passo 7

Expressões mais explícitas (separando n par e ímpar):\n
  • Se n é par, então (-1)^n=1 e b_n=\frac{2}{n\pi}\bigl(1-(1+\pi)\bigr)=\frac{2}{n\pi}(-\pi)=-\frac{2}{n}.
  • Se n é ímpar, então (-1)^n=-1 e b_n=\frac{2}{n\pi}\bigl(1+(1+\pi)\bigr)=\frac{2(\pi+2)}{n\pi}.
Portanto a série tem apenas termos em seno e seus coeficientes são os dados acima. Podemos reescrever a série separando termos pares e ímpares (escrevendo n=2m e n=2m-1): f(x)\sim\sum_{m=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{m}\sin(2mx)\right)+\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{2(\pi+2)}{(2m-1)\pi}\sin((2m-1)x)\right).

Passo 8

Observações finais sobre convergência e valor nos pontos de descontinuidade:\n
  • A série de Fourier converge para f(x) em todos os pontos de continuidade de f e, em pontos de descontinuidade (como x=0), converge para a média dos limites laterais, isto é \dfrac{\lim_{x\to0^-}f(x)+\lim_{x\to0^+}f(x)}{2}=\dfrac{-1+1}{2}=0. Portanto a soma da série em x=0 vale 0.\n
  • Como a_0=0 e a_n=0, temos apenas termos de seno na expansão.

Resposta

Gráfico: em -\pi<x<0 a reta f(x)=x-1 (valores de -\pi até -1 quando x\to0^-), em 0\le x<\pi a reta f(x)=x+1 (valores de 1 até \pi+1 quando x\to\pi^-); há salto em x=0 com limites laterais -1 e 1; a extensão periódica repete esse padrão de período 2\pi.
Série de Fourier: f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\bigl(1-(1+\pi)(-1)^n\bigr)\sin(nx),
ou, separando pares e ímpares,
f(x)\sim\sum_{m=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{m}\sin(2mx)\right)+\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{2(\pi+2)}{(2m-1)\pi}\sin((2m-1)x)\right).

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