Questão 3 Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s). P Marcar questão
Suponha que temos uma corrente de tunelamento em um dispositivo eletrônico que atravessa uma barreia de potencial. A corrente de tunelamento é baixa porque a largura da barreira é grande e a altura da barreira é alta. Você deseja aumentar a corrente de tunelamento, qual seria o procedimento mais efetivo?
Escolha uma opção:
◯ a. Reduzir a largura da barreira e não alterar a altura da barreira.
◯ b. Não alterar a largura da barreira e reduzir a altura da barreira.
◯ c. Aumentar a largura da barreira e reduzir a altura da barreira.
◯ d. Aumentar a largura da barreira e aumentar a altura da barreira.
◯ e. Reduzir a altura da Barreira e aumentar a altura.

Passo 1

O enunciado diz que a corrente de tunelamento é baixa porque a barreira tem largura grande e altura alta. Pergunta qual procedimento seria o mais efetivo para aumentar a corrente de tunelamento, oferecendo cinco opções (a)–(e). Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Largura da barreira: grande}
\text{Altura da barreira: alta}
A pergunta pede que eu escolha entre reduzir/ aumentar a largura e/ou reduzir/ aumentar a altura para maximizar a corrente de tunelamento.

Passo 2

Vamos usar a fórmula aproximada que relaciona a probabilidade de tunelamento T com a largura e altura da barreira no caso simples de uma barreira retangular alta e larga. Para esse caso, a dependência dominante é exponencial:
T \approx \exp\big(-2\kappa a\big)
onde
\kappa = \sqrt{\dfrac{2m\big(V_0 - E\big)}{\hbar^2}}.
Expliquei cada símbolo:
\;a é a largura da barreira (distância que a partícula precisa atravessar),
\;V_0 é a altura da barreira (energia potencial da barreira),
\;E é a energia da partícula que incide na barreira,
\;m é a massa da partícula,
\;\hbar é a constante de Planck reduzida.
Comentário pedagógico: essa fórmula mostra que T decai exponencialmente com o produto \kappa a. Ou seja, tanto aumentar a quanto aumentar \kappa (que cresce com V_0) reduzem fortemente T.

Passo 3

Analisando o efeito de mudar a largura a: pela fórmula,
T \propto \exp(-2\kappa a).
Se eu reduzir a largura em uma quantidade \Delta a>0 (isto é, a\to a-\Delta a), o fator multiplicativo para T é
\frac{T_{\text{novo}}}{T_{\text{antigo}}}=\exp\big(2\kappa\,\Delta a\big).
Isto é, uma redução direta de a aparece no expoente e causa um aumento exponencial de T. Em linguagem simples: diminuir a largura corta diretamente a distância exponencial que o tunelamento “penaliza” — normalmente tem efeito muito grande.

Passo 4

Analisando o efeito de mudar a altura V_0: \kappa depende de V_0 como raiz quadrada,
\kappa=\sqrt{\dfrac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}}.
Se eu reduzir V_0 em \Delta V>0 (isto é, V_0\to V_0-\Delta V), a mudança relativa em \kappa é do tipo raiz quadrada:
\kappa_{\text{novo}}=\sqrt{V_0-E-\Delta V}=\kappa\sqrt{1-\dfrac{\Delta V}{V_0-E}}\approx \kappa\left(1-\dfrac{\Delta V}{2(V_0-E)}\right)
para reduções pequenas (expansão em série). Assim o expoente muda aproximadamente por
-2a(\kappa_{\text{novo}}-\kappa)\approx 2a\kappa\cdot\dfrac{\Delta V}{2(V_0-E)} = a\kappa\cdot\dfrac{\Delta V}{(V_0-E)}.
Ou seja, uma dada variação absoluta em V_0 traduz-se numa mudança menor no expoente porque entra por uma raiz quadrada — o efeito é sublinear e, tipicamente, menos dramático que mexer diretamente em a.

Passo 5

Para tornar tudo mais concreto — exemplo numérico simples e intuitivo:
Escolho números fáceis apenas para comparar efeitos (não precisa decorar na prova, é só para intuição). Suponha que \kappa=1 (unidades convenientes) e a=5. Então
T_{\text{inicial}}\approx \exp(-2\cdot 1\cdot 5)=\exp(-10)\approx 4{,}5\times 10^{-5}.
Agora duas ações com igual “tamanho” aparente:
  1. Diminuir a de 5 para 4 (reduzir largura em 1):
T=\exp(-2\cdot1\cdot4)=\exp(-8)\approx 3{,}4\times 10^{-4},
aumento de um fator ~7,5.
2) Diminuir V_0 de modo que \kappa caia 20% (mesma porcentagem que a redução de a no exemplo), então \kappa\approx0{,}8, mantendo a=5:
T=\exp(-2\cdot0{,}8\cdot5)=\exp(-8)\approx 3{,}4\times 10^{-4},
nesse caso coincidiria por escolha, mas note que para uma redução absoluta típica de V_0 a queda de \kappa costuma ser menor (porque depende de \sqrt{V_0-E}). Se em vez disso reduzimos V_0 em uma fração fixa, a queda em \kappa é menor que a queda proporcional em a. Em muitas situações realistas, diminuir a (espessura) gera aumento de corrente muito mais eficiente do que reduzir V_0 na mesma “escala” prática.
Passando da intuição ao enunciado: entre as opções, reduzir a largura enquanto não se altera a altura age diretamente sobre o expoente e normalmente é a estratégia mais efetiva para aumentar a corrente de tunelamento.

Passo 6

Conclusão lógica: a opção que diz reduzir a largura da barreira e não alterar a altura é a que aumenta mais eficazmente a probabilidade de tunelamento — portanto, corresponde à melhor escolha entre as alternativas dadas.

Resposta

a. Reduzir a largura da barreira e não alterar a altura da barreira.

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