Considere um oscilador fracamente amortecido com constante elástica
, massa de 5 kg e constante de amortecimento
.
(a) Escreva uma expressão para a energia total do oscilador em função do tempo.
(b) Quanto tempo é necessário para que
da energia mecânica do oscilador seja perdida? (ou seja, restam 60%)
(c) Qual o período
e quantas oscilações foram necessárias para que se perdesse os
da energia inicial?
(a) Escreva uma expressão para a energia total do oscilador em função do tempo.
(b) Quanto tempo é necessário para que
(c) Qual o período
Passo 1
O enunciado dá os dados do oscilador e pede três coisas. Dados fornecidos:
Perguntas:
- Escrever uma expressão para a energia total do oscilador em função do tempo.
- Determinar o tempo necessário para que
da energia mecânica seja perdida (ou seja, que reste da energia inicial). - Calcular o período
e o número de oscilações ocorridas nesse tempo calculado no item (2).
Passo 2
Modelo físico e parâmetros importantes (explicação didática).
Um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso leve (fracamente amortecido) obedece à equação
Um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso leve (fracamente amortecido) obedece à equação
Aqui:
-
é a aceleração, a velocidade, o deslocamento. - A constante de amortecimento por unidade de massa é normalmente escrita como
. Esse mede a taxa de decaimento exponencial da amplitude. Vou calcular com os dados:
- A frequência natural (sem amortecimento) é
- Para amortecimento fraco (
) a frequência angular amortecida é
Aqui
é muito pequeno comparado a
, então
ficará muito próximo de
. Vou calcular isso numericamente mais adiante.
Passo 3
Comportamento da amplitude e da energia (aulas rápidas).
- A solução para o deslocamento no regime subamortecido tem a forma
onde
é a amplitude inicial e
a fase inicial. A ideia importante: a amplitude decai exponencialmente como
.
- A energia mecânica total (energia potencial elástica + energia cinética) é proporcional ao quadrado da amplitude. Se a amplitude vale
, a energia máxima em cada ciclo é
Substituindo
obtemos a dependência exponencial da energia:
Explicando: a energia contém termos quadráticos (velocidade ao quadrado e deslocamento ao quadrado), por isso se a amplitude cai como
a energia cai como
.
Passo 4
Resposta geral do item (a) com forma final e interpretação.
Escrevendo (energia inicial), a expressão pedida é
Escrevendo
Como já calculamos
, a expressão pode também ser escrita numericamente como
Comentário prático: a constante de decaimento do expoente da energia é
, ou seja a energia decai com uma constante de tempo
.
Passo 5
Resolver o item (b): tempo para restar
da energia.
Queremos . Usando
temos
Queremos
Tomando logaritmo natural,
Substituindo
,
Agora o valor numérico:
. Logo
Arredondando razoavelmente,
Passo 6
Calcular o período
(item (c)).
A frequência amortecida é
A frequência amortecida é
Substituindo
e
temos
e
O período é
(Nota: como o amortecimento é fraco,
difere muito pouco de
.)
Passo 7
Número de oscilações ocorridas até o tempo encontrado no item (b).
O número de ciclos (oscilações) é
O número de ciclos (oscilações) é
Usando
e
,
Interpretação: aproximadamente
oscilações, ou seja, 11 oscilações completas e metade da 12ª quando a energia já caiu para
da inicial.
Resposta
(a)
com
, portanto
.
(b) .
(c) . Número de oscilações
(≈11 oscilações completas).
(b)
(c)