Considere um oscilador fracamente amortecido com constante elástica 1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, massa de 5 kg e constante de amortecimento 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.
(a) Escreva uma expressão para a energia total do oscilador em função do tempo.
(b) Quanto tempo é necessário para que 40 \% da energia mecânica do oscilador seja perdida? (ou seja, restam 60%)
(c) Qual o período (T) e quantas oscilações foram necessárias para que se perdesse os 40 \% da energia inicial?

Passo 1

O enunciado dá os dados do oscilador e pede três coisas. Dados fornecidos:
k=1000\\ \mathrm{N/m},\qquad m=5\\ \mathrm{kg},\qquad c=0{,}5\\ \mathrm{kg/s}.
Perguntas:
  1. Escrever uma expressão para a energia total do oscilador em função do tempo.
  2. Determinar o tempo necessário para que 40\% da energia mecânica seja perdida (ou seja, que reste 60\% da energia inicial).
  3. Calcular o período T e o número de oscilações ocorridas nesse tempo calculado no item (2).

Passo 2

Modelo físico e parâmetros importantes (explicação didática).
Um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso leve (fracamente amortecido) obedece à equação
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0.
Aqui:
  • \ddot{x} é a aceleração, \dot{x} a velocidade, x o deslocamento.
  • A constante de amortecimento por unidade de massa é normalmente escrita como \gamma=\dfrac{c}{2m}. Esse \gamma mede a taxa de decaimento exponencial da amplitude. Vou calcular \gamma com os dados:
\gamma=\frac{c}{2m}=\frac{0{,}5}{2\cdot5}=0{,}05\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • A frequência natural (sem amortecimento) é
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1000}{5}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\\ \mathrm{rad/s}\approx 14{,}1421\\ \mathrm{rad/s}.
  • Para amortecimento fraco ( \gamma\ll\omega_0) a frequência angular amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.
Aqui \gamma^2 é muito pequeno comparado a \omega_0^2, então \omega_d ficará muito próximo de \omega_0. Vou calcular isso numericamente mais adiante.

Passo 3

Comportamento da amplitude e da energia (aulas rápidas).
  • A solução para o deslocamento no regime subamortecido tem a forma
x(t)=A_0 e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t+\varphi),
onde A_0 é a amplitude inicial e \varphi a fase inicial. A ideia importante: a amplitude decai exponencialmente como A(t)=A_0 e^{-\gamma t}.
  • A energia mecânica total (energia potencial elástica + energia cinética) é proporcional ao quadrado da amplitude. Se a amplitude vale A(t), a energia máxima em cada ciclo é
E(t)=\tfrac{1}{2}k\bigl(A(t)\bigr)^2.
Substituindo A(t)=A_0 e^{-\gamma t} obtemos a dependência exponencial da energia:
E(t)=\tfrac{1}{2}kA_0^2 e^{-2\gamma t}.
Explicando: a energia contém termos quadráticos (velocidade ao quadrado e deslocamento ao quadrado), por isso se a amplitude cai como e^{-\gamma t} a energia cai como e^{-2\gamma t}.

Passo 4

Resposta geral do item (a) com forma final e interpretação.
Escrevendo E_0=\tfrac{1}{2}kA_0^2 (energia inicial), a expressão pedida é
E(t)=E_0 e^{-2\gamma t}.
Como já calculamos \gamma=0{,}05\\ \mathrm{s^{-1}}, a expressão pode também ser escrita numericamente como
E(t)=E_0 e^{-0{,}1\,t}.
Comentário prático: a constante de decaimento do expoente da energia é 2\gamma=0{,}1\\ \mathrm{s^{-1}}, ou seja a energia decai com uma constante de tempo \tau_E=1/(2\gamma)=10\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Resolver o item (b): tempo para restar 60\% da energia.
Queremos E(t)=0{,}6\,E_0. Usando E(t)=E_0 e^{-2\gamma t} temos
e^{-2\gamma t}=0{,}6.
Tomando logaritmo natural,
-2\gamma t=\ln(0{,}6)\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{\ln(0{,}6)}{2\gamma}.
Substituindo 2\gamma=0{,}1\\ \mathrm{s^{-1}},
t=-\frac{\ln(0{,}6)}{0{,}1}=-10\ln(0{,}6).
Agora o valor numérico: \ln(0{,}6)\approx -0{,}5108256. Logo
t\approx -10\cdot(-0{,}5108256)=5{,}108256\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente,
t\approx 5{,}11\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Calcular o período T (item (c)).
A frequência amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}.
Substituindo \omega_0=10\sqrt{2}\approx 14{,}1421356\\ \mathrm{rad/s} e \gamma=0{,}05\\ \mathrm{s^{-1}} temos \gamma^2=0{,}0025 e
\omega_d=\sqrt{200-0{,}0025}\approx 14{,}14205\\ \mathrm{rad/s}.
O período é
T=\frac{2\pi}{\omega_d}\approx\frac{2\pi}{14{,}14205}\approx 0{,}44429\\ \mathrm{s}.
(Nota: como o amortecimento é fraco, T difere muito pouco de 2\pi/\omega_0.)

Passo 7

Número de oscilações ocorridas até o tempo encontrado no item (b).
O número de ciclos (oscilações) é
N=\frac{t}{T}.
Usando t\approx 5{,}108256\\ \mathrm{s} e T\approx 0{,}44429\\ \mathrm{s},
N\approx\frac{5{,}108256}{0{,}44429}\approx 11{,}50.
Interpretação: aproximadamente 11{,}5 oscilações, ou seja, 11 oscilações completas e metade da 12ª quando a energia já caiu para 60\% da inicial.

Resposta

(a) E(t)=E_0 e^{-2\gamma t}=\tfrac{1}{2}kA_0^2 e^{-2\gamma t} com \gamma=0{,}05\\ \mathrm{s^{-1}}, portanto E(t)=E_0 e^{-0{,}1t}.
(b) t=-\dfrac{\ln(0{,}6)}{0{,}1}\approx 5{,}11\\ \mathrm{s}.
(c) T\approx 0{,}44429\\ \mathrm{s}. Número de oscilações N=\dfrac{t}{T}\approx 11{,}50 (≈11 oscilações completas).

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