Um objeto de 7,50 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k=1500 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 30,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 20,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Determine
a amplitude do movimento

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa só.
Dados:
  • massa do objeto: \,m=7,50\\ \mathrm{kg}.
  • constante da mola: \,k=1500\\ \mathrm{N/m}.
  • deslocamento inicial a partir da posição de equilíbrio: \,x_0=30,0\\ \mathrm{cm}=0,300\\ \mathrm{m}.
  • velocidade inicial na direção da posição de equilíbrio: \,v_0=20,0\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede:
  • Determinar a amplitude do movimento (ou seja, o valor máximo \,A da oscilação).

Passo 2

Vamos entender a solução geral do movimento de um massa-mola sem atrito. A equação do movimento é
m\ddot{x}+kx=0.
A solução geral (movimento harmônico simples) pode ser escrita como soma de cosseno e seno:
x(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t),
onde
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}
é a frequência angular (em rad/s). Aqui C e D são constantes determinadas pelas condições iniciais \,x(0)=x_0 e \,v(0)=\dot{x}(0)=v_0.
Explico cada coisa:
  • \,x(t) é a posição em função do tempo (m).
  • \,C é o valor de \,x no instante t=0 se a parte senoidal for zero.
  • \,D está ligado à componente de velocidade inicial.
  • \,\omega mede quão “rápido” a mola oscila; quanto maior \,k (mola mais rígida) ou menor \,m, maior \,\omega.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais para relacionar C e D com x_0 e v_0.
Em t=0:
x(0)=C\cos(0)+D\sin(0)=C=x_0,
logo \,C=x_0.
Derivando x(t) e avaliando em t=0:
v(t)=\dot{x}(t)=-C\omega\sin(\omega t)+D\omega\cos(\omega t),
v(0)=D\omega=v_0,
logo
D=\frac{v_0}{\omega}.

Passo 4

A amplitude A do movimento harmônico (o valor máximo de |x(t)|) é dada por
A=\sqrt{C^2+D^2}.
Substituindo C e D achados:
A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}.
Este resultado tem interpretação física: a amplitude combina a contribuição do deslocamento inicial (x_0) e a contribuição da velocidade inicial (v_0) convertida em equivalente de deslocamento por meio de \omega.

Passo 5

Agora calculamos os números. Primeiro a frequência angular:
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{1500}{7,50}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx 14,142\\ \mathrm{rad/s}.
Em seguida calculamos \dfrac{v_0}{\omega}:
\frac{v_0}{\omega}=\frac{20,0}{14,142}\approx 1,414\\ \mathrm{m}.
Então
A=\sqrt{(0,300)^2+(1,414)^2}=\sqrt{0,090+2,000}=\sqrt{2,090}.

Passo 6

Tirando a raiz e escolhendo uma quantidade razoável de algarismos significativos (os dados têm três algarismos relevantes), obtemos o valor numérico final da amplitude em metros.

Resposta

A=1,45\\ \mathrm{m}

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