Um objeto de 7,50 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k=1500 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 30,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 20,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Determine
a amplitude do movimento
a amplitude do movimento
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa só.
Dados:
- massa do objeto:
. - constante da mola:
. - deslocamento inicial a partir da posição de equilíbrio:
. - velocidade inicial na direção da posição de equilíbrio:
.
O que se pede:
- Determinar a amplitude do movimento (ou seja, o valor máximo
da oscilação).
Passo 2
Vamos entender a solução geral do movimento de um massa-mola sem atrito. A equação do movimento é
A solução geral (movimento harmônico simples) pode ser escrita como soma de cosseno e seno:
onde
é a frequência angular (em rad/s). Aqui
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais
e
.
Explico cada coisa:
-
é a posição em função do tempo (m). -
é o valor de no instante se a parte senoidal for zero. -
está ligado à componente de velocidade inicial. -
mede quão “rápido” a mola oscila; quanto maior (mola mais rígida) ou menor , maior .
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais para relacionar
e
com
e
.
Em
:
logo
.
Derivando
e avaliando em
:
logo
Passo 4
A amplitude
do movimento harmônico (o valor máximo de
) é dada por
Substituindo
e
achados:
Este resultado tem interpretação física: a amplitude combina a contribuição do deslocamento inicial
e a contribuição da velocidade inicial
convertida em equivalente de deslocamento por meio de
.
Passo 5
Agora calculamos os números. Primeiro a frequência angular:
Em seguida calculamos
:
Então
Passo 6
Tirando a raiz e escolhendo uma quantidade razoável de algarismos significativos (os dados têm três algarismos relevantes), obtemos o valor numérico final da amplitude em metros.