Questão 4 | Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).
Utilizando a expressão de Bohr para os níveis de energia do hidrogênio, qual é o comprimento de onda do fóton emitido quanto o elétron transita do nível 7 para 2 ?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor 3,45 \times 10^{-5}=3,45 E-5.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes universais:
h=6,626 \times 10^{-34} J . s
m_{e}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
e=1,6 \times 10^{-19} C
c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Resposta: \square Escolher…

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron do átomo de hidrogênio faz a transição do nível 7 para o nível 2.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
  • nível inicial n_i=7 e nível final n_f=2.
  • precisamos do comprimento de onda \lambda do fóton emitido (escolher unidade adequada).
  • podemos usar constantes universais; aqui vou usar o valor do constante de Rydberg para o hidrogênio R_H (ver passo seguinte).

Passo 2

Teoria e fórmula que vamos usar (explicação didática):
Na teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio, a transição entre níveis n_i e n_f emite (ou absorve) fóton cuja frequência \nu e comprimento de onda \lambda estão ligados à diferença de energia entre os níveis. Uma forma prática é usar a fórmula de Rydberg para o comprimento de onda:
\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
Explicando cada símbolo:
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton (unidade: \mathrm{m}).
  • R_H é a constante de Rydberg para o hidrogênio, que dá a escala de frequências/energia das transições; seu valor experimental é aproximadamente \;R_H = 1,097373\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • n_i é o número quântico inicial ( 7 aqui) e n_f é o número quântico final ( 2 aqui).
    Observação: essa fórmula vem da expressão de Bohr para os níveis de energia combinada com E = h\nu e \nu = c/\lambda. Então, calcular \frac{1}{\lambda} nos dá diretamente o inverso do comprimento de onda; inverter esse valor dá \lambda.

Passo 3

Calcular a combinação de frações \dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2} passo a passo:
\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}=\frac{1}{2^2}-\frac{1}{7^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{49}.
Vamos colocar em denominador comum 196 para ficar exato:
\frac{1}{4}=\frac{49}{196},\qquad \frac{1}{49}=\frac{4}{196},
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\frac{1}{4}-\frac{1}{49}=\frac{49-4}{196}=\frac{45}{196}.
Se preferir decimal, \dfrac{45}{196}\approx 0,2295918367\ldots

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Rydberg:
\frac{1}{\lambda}=R_H\cdot\frac{45}{196}.
Substituindo o valor de R_H:
\frac{1}{\lambda}=1,097373\times10^{7}\cdot\frac{45}{196}.
Calcule o produto passo a passo: primeiro 1,097373\times45=49,381785. Em seguida divida por 196:
\frac{1}{\lambda}=\frac{49,381785}{196}=2,5193899\times10^{6}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Invertemos para obter \lambda:
\lambda=\frac{1}{2,5193899\times10^{6}}\\ \mathrm{m}=3,9690\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Para uma unidade mais usual em espectroscopia, convertemos para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda=3,9690\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=396,90\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas significativas) temos \lambda\approx396,9\\ \mathrm{nm} ou \lambda\approx3,97\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Resposta

\lambda = 396,9\\ \mathrm{nm}

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