A introdução da constante h por Planck, para interpretar o espectro de radiação de um corpo negro em função de sua frequência e temperatura, era de início uma hipótese provisória, segundo ele próprio, mas que acabou por tornar-se definitiva e dar origem a uma nova física. Entre as muitas razões para que o caráter provisório dessa constante se tornasse definitivo, foi a sua utilização como apoio teórico para a
Escolha uma opção:
\bigcirc a. proposta do modelo atômico de Bohr e a dualidade onda-partícula de Broglie.
\bigcirc b. obtenção da expressão empírica da posição das linhas do espectro do hidrogênio (fórmula de Balmer) e a proposta do modelo atômico do “pudim de passas”, de Thomson.
\bigcirc c. obtenção da razão carga/massa do elétron e a proposta do modelo atômico de Rutherford.
\bigcirc d. postulação da constância da velocidade da luz e a proposta relativística da deformação do espaço-tempo.
\bigcirc e. descoberta da radioatividade artificial e a descoberta da equivalência massa-energia.

Passo 1

O enunciado diz que a constante h de Planck, inicialmente proposta como hipótese provisória para explicar o espectro de radiação de corpo negro, acabou tornando-se definitiva porque serviu de apoio teórico para alguma descoberta/teoria listada nas alternativas. O que é pedido: escolher a alternativa correta entre as opções (a) a (e). As opções dadas são:
a. proposta do modelo atômico de Bohr e a dualidade onda-partícula de Broglie.
b. obtenção da expressão empírica da posição das linhas do espectro do hidrogênio (fórmula de Balmer) e a proposta do modelo atômico do “pudim de passas”, de Thomson.
c. obtenção da razão carga/massa do elétron e a proposta do modelo atômico de Rutherford.
d. postulação da constância da velocidade da luz e a proposta relativística da deformação do espaço-tempo.
e. descoberta da radioatividade artificial e a descoberta da equivalência massa-energia.

Passo 2

O que significa, de fato, a constante de Planck? Vou te explicar de um jeito simples: Planck propôs que os osciladores que emitem/absorvem radiação trocam energia aos “pulsos” discretos chamados quanta. A relação central é
E = h \nu,
onde E é a energia do quanto, h é a constante de Planck e \nu é a frequência. Ou seja, a energia não varia continuamente, mas em múltiplos inteiros de h\nu. Essa ideia foi crucial para explicar o espectro do corpo negro — ela introduziu h como uma constante universal que relaciona frequência e energia.

Passo 3

Como isso ajudou o modelo de Bohr? Bohr tomou a ideia de quantização e aplicou-a aos elétrons ligados no átomo de hidrogênio com uma condição simples e famosa: o momento angular do elétron só pode assumir valores quantizados.
A condição de Bohr é
L = m v r = n \hbar,
onde m é a massa do elétron, v sua velocidade na órbita, r o raio da órbita, n um número inteiro ( n=1,2,3,\dots) e \hbar=\dfrac{h}{2\pi}. Vou mostrar em passos pequenos por que isso usa h:
  1. A força centrípeta é fornecida pela atração coulombiana:
\frac{m v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2},
onde e é a carga do elétron e \varepsilon_0 a permissividade do vácuo.
  1. A condição de Bohr dá v = \dfrac{n\hbar}{m r}. Substituindo na equação da força e resolvendo para r obtemos que os raios permitidos vêm com fator n^2, isto é r_n \propto n^2 e dependem de \hbar (logo de h).
  2. A energia total da órbita é (energia cinética + potencial)
E_n = -\frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n}.
Substituindo r_n em termos de n e \hbar obtemos
E_n = -\frac{m e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\cdot\frac{1}{n^2}.
Repara: o h^2 aparece no denominador — sem h a quantização das energias não surge.
  1. Quando um elétron salta de um nível n_i para n_f ele emite um fóton com energia
\Delta E = E_{n_i}-E_{n_f} = h \nu.
Reorganizando dá a fórmula das linhas espectrais tipo Rydberg/Balmer
\nu = R \left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),
onde R é constante (Rydberg) que contém m,\\ e,\\ \varepsilon_0,\\ h. Ou seja, Bohr usou explicitamente h (através de \hbar) para derivar a posição das linhas do hidrogênio — e assim explicar empiricamente a série de Balmer. Isso mostra que h foi fundamento teórico do modelo de Bohr.

Passo 4

E a dualidade onda-partícula de Broglie? A ideia de Broglie parte justamente das relações para fótons e generaliza para matéria. Para um fóton temos as relações
E = h \nu,\qquad p = \frac{h}{\lambda},
onde p é o impulso e \lambda o comprimento de onda. Broglie pensou: se luz (objeto clássico) tem comportamento dual, talvez partículas material também tenham uma onda associada. Ele propôs
\lambda = \frac{h}{p}
para qualquer partícula com momento p. Note como h é a constante que relaciona comprimento de onda com quantidade de movimento — sem h não haveria essa relação direta entre onda e partícula. Essa hipótese levou à ideia de dualidade onda-partícula e foi confirmada experimentalmente (difração de elétrons), consolidando h como fundamental.

Passo 5

Agora vamos eliminar as opções erradas com argumentos claros:
  • Alternativa (b): a fórmula de Balmer é empírica e foi explicada pelo modelo de Bohr que, como mostrei, depende de h. Porém a segunda parte da alternativa fala do modelo do “pudim de passas” de Thomson — esse modelo foi anterior e não usou h como fundamento teórico. Logo a alternativa junta coisas incompatíveis; ela está errada.
  • Alternativa (c): a razão carga/masa e/m do elétron foi determinada por experiências de raios catódicos (Thomson) e o modelo de Rutherford decorre de experimentos de espalhamento - ambos fenomenais, mas não são consequência teórica do uso de h. O surgimento de h não foi apoio teórico para medir e/m nem para o modelo de Rutherford.
  • Alternativa (d): a postulação da constância da velocidade da luz c e a relatividade (deformação espaço-tempo) pertencem à teoria da relatividade de Einstein, cuja base conceitual não depende de h (essa teoria é sobre c e geometria do espaço-tempo). h pertence ao domínio quântico; não foi o apoio teórico para a constância de c.
  • Alternativa (e): a descoberta da radioatividade artificial e a equivalência massa-energia E=mc^2 são resultados ligados ao trabalho de Rutherford e de Einstein — E=mc^2 não depende de h. A radioatividade artificial também não tem h como suporte teórico primordial. Portanto (e) está errada.

Passo 6

Resumo sucinto e motivador: Planck introduziu h ligando energia e frequência. Bohr usou quantização em termos de h ( \hbar) para obter níveis de energia do átomo e explicar as séries espectrais; Broglie usou a relação energia/frequência e impulso/onda (que têm h) para propor \lambda = h/p e assim estabelecer a dualidade onda-partícula. Ou seja, tanto o modelo de Bohr quanto a hipótese de Broglie têm h no centro da teoria — por isso h deixou de ser provisório.

Resposta

a

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