Questão 2
Ainda não respondida
Vale 2,00 ponto(s).
O valor da integral dupla
é igual a:
a.
b.
c. 5
d. N.D.A.
e.
Ainda não respondida
Vale 2,00 ponto(s).
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
Informações dadas:
- A integração interna é em
, com limites até . - A integração externa é em
, com limites até . - O integrando é
, que depende somente de (não depende de ). - As alternativas oferecidas são: (a)
; (b) ; (c) ; (d) N.D.A.; (e) .
Passo 2
Observação importante (ferramenta que vou usar): quando o integrando de uma integral dupla não depende da variável de integração interna, podemos tirar essa função como constante ao integrar em relação a essa variável. Em geral, se
depende só de
, então
Exemplo simples para fixar:
.
Passo 3
Aplicando isso à integral interna, com
e limites
a
, temos
Passo 4
Portanto a integral dupla se reduz à integral simples
Passo 5
Para calcular
é natural usar a substituição
Calculamos a diferencial:
, ou seja
.
Mudança dos limites: quando temos
; quando
temos
.
Mudança dos limites: quando
Passo 6
Substituindo na integral:
Aqui usei
.
Passo 7
Usando a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando com
:
Passo 8
Portanto
Passo 9
Calculando os termos:
Logo
Passo 10
Comparando com as alternativas, a que coincide é a alternativa (a):
. Força aí — essa técnica de tirar constante da integração interna e usar substituição é muito útil e rápida na prova!
Resposta
a.