Questão 2
Ainda não respondida
Vale 2,00 ponto(s).
O valor da integral dupla \int_{0}^{4} \int_{0}^{y} \sqrt{9+y^{2}} d x d y é igual a:
\bigcirc a. 98 / 3
\bigcirc b. 7 / 3
\bigcirc c. 5
\bigcirc d. N.D.A.
\bigcirc e. 1 / 3

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\int_{0}^{4} \int_{0}^{y} \sqrt{9+y^{2}} \, dx \, dy.
Informações dadas:
  • A integração interna é em x, com limites x=0 até x=y.
  • A integração externa é em y, com limites y=0 até y=4.
  • O integrando é \sqrt{9+y^{2}}, que depende somente de y (não depende de x).
  • As alternativas oferecidas são: (a) 98/3; (b) 7/3; (c) 5; (d) N.D.A.; (e) 1/3.

Passo 2

Observação importante (ferramenta que vou usar): quando o integrando de uma integral dupla não depende da variável de integração interna, podemos tirar essa função como constante ao integrar em relação a essa variável. Em geral, se g depende só de y, então
\int_{x=a}^{x=b} g(y)\,dx = g(y)\,(b-a).
Exemplo simples para fixar: \int_{0}^{2} 3\,dx = 3\cdot(2-0)=6.

Passo 3

Aplicando isso à integral interna, com g(y)=\sqrt{9+y^{2}} e limites x=0 a x=y, temos
\int_{0}^{y} \sqrt{9+y^{2}} \, dx = \sqrt{9+y^{2}}\,(y-0)=y\sqrt{9+y^{2}}.

Passo 4

Portanto a integral dupla se reduz à integral simples
\int_{0}^{4} y\sqrt{9+y^{2}} \, dy.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{4} y\sqrt{9+y^{2}} \, dy é natural usar a substituição
u = 9+y^{2}.
Calculamos a diferencial: du = 2y\,dy, ou seja y\,dy = \dfrac{du}{2}.
Mudança dos limites: quando y=0 temos u=9; quando y=4 temos u=9+4^{2}=25.

Passo 6

Substituindo na integral:
\int_{0}^{4} y\sqrt{9+y^{2}} \, dy = \frac{1}{2}\int_{u=9}^{u=25} \sqrt{u}\, du.
Aqui usei \sqrt{u}=u^{1/2}.

Passo 7

Usando a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 8

Portanto
\frac{1}{2}\int_{9}^{25} u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{9}^{25} = \frac{1}{3}\left[u^{3/2}\right]_{9}^{25}.

Passo 9

Calculando os termos:
25^{3/2} = (\sqrt{25})^{3} = 5^{3}=125,
9^{3/2} = (\sqrt{9})^{3} = 3^{3}=27.
Logo
\frac{1}{3}\left(125-27\right)=\frac{1}{3}\cdot 98 = \frac{98}{3}.

Passo 10

Comparando com as alternativas, a que coincide é a alternativa (a): \dfrac{98}{3}. Força aí — essa técnica de tirar constante da integração interna e usar substituição é muito útil e rápida na prova!

Resposta

a. \dfrac{98}{3}

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