Questão 3 (1 ponto). Calcule a integral abaixo usando integração por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: integrando
, variável de integração
. Como é integral indefinida, devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
multiplicada por
e
é a parte restante do integrando. A ideia é escolher
de forma que
seja mais simples, e escolher
que seja fácil de integrar para obter
.
Passo 3
Escolha de
e
. Uma boa regra prática: polinômios escolhemos como
porque sua derivada simplifica. Assim tomamos
Passo 4
Calcular
e
. Derivando
obtemos
Agora integramos
para obter
:
Para integrar
lembramos que
, então
Portanto
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Isso é
Já calculamos
, então
Passo 6
Simplificar e apresentar de forma compacta. Podemos fatorar
:
Verificação rápida (útil na prova): derivando
pelo produto obtemos
, que é o integrando, então está correto.