Questão 3 (1 ponto). Calcule a integral abaixo usando integração por partes:
\int x e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x e^{-x}\, dx.
Informações dadas: integrando x e^{-x}, variável de integração x. Como é integral indefinida, devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\, dv = uv - \int v\, du,
onde u e v são funções de x, du é a derivada de u multiplicada por dx e dv é a parte restante do integrando. A ideia é escolher u de forma que du seja mais simples, e escolher dv que seja fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Escolha de u e dv. Uma boa regra prática: polinômios escolhemos como u porque sua derivada simplifica. Assim tomamos
u = x,\qquad dv = e^{-x}\,dx.

Passo 4

Calcular du e v. Derivando u obtemos
du = dx.
Agora integramos dv para obter v:
v = \int e^{-x}\,dx.
Para integrar e^{-x} lembramos que \frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}, então
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Portanto
v = -e^{-x}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int x e^{-x}\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x e^{-x}\,dx = x\cdot(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})\cdot dx.
Isso é
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
Já calculamos \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}, então
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C.

Passo 6

Simplificar e apresentar de forma compacta. Podemos fatorar -e^{-x}:
\int x e^{-x}\,dx = -e^{-x}(x+1) + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando F(x)= -e^{-x}(x+1) pelo produto obtemos F'(x)=x e^{-x}, que é o integrando, então está correto.

Resposta

-(x+1)e^{-x}+C

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