Questão
Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto especificado.
curva:
ponto:
curva:
Passo 1
O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
.
Informações relevantes dadas:
.
Ponto onde queremos a inclinação: e
.
Observação importante: a função (arccos) tem domínio
, então
está no domínio.
Ponto onde queremos a inclinação:
Observação importante: a função
Passo 2
Vamos achar a derivada
da função para obter a inclinação da reta tangente. Primeiro, recorda algumas regras essenciais (vou explicar devagarzinho):
Regra 1 — derivada do ln: se
, então
Aqui
é qualquer função diferenciável;
é a derivada de
.
Regra 2 — derivada da função
: se
, podemos obter
usando a derivada da função inversa. Seja
. Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Logo
Mas como
, temos
(a raiz positiva porque
e aí
). Portanto
Agora aplicamos a Regra 1 com
. Assim
Esse é o
genérico.
Passo 3
Vamos avaliar a derivada em
.
Primeiro, verifico que o ponto bate com a função:
pois
. Então
, que é exatamente o
dado — ponto confirmado.
Agora calcule a raiz:
Substituindo em
com
e
, obtemos
Calculo o denominador passo a passo:
Então
Simplifico
: multiplico numerador e denominador por
,
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto dado é
. Boa! Conseguiu acompanhar — respirou, fez passo a passo e simplificou direitinho.