Questão
Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto especificado.
curva: y=\ln \left(\cos ^{-1} x\right) \quad ponto: \left(\frac{1}{2} ; \ln \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)
\bigcirc -\frac{2 \sqrt{3}}{\pi}
\bigcirc -1
\bigcirc -\frac{1}{\pi}
\bigcirc \frac{1}{\pi}
\bigcirc -\frac{\sqrt{3}}{\pi}

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva \displaystyle y=\ln\!\big(\cos^{-1}x\big) no ponto \displaystyle\left(\frac{1}{2};\ln\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\right).
Informações relevantes dadas:
\displaystyle y=\ln\!\big(\cos^{-1}x\big).
Ponto onde queremos a inclinação: \displaystyle x=\frac{1}{2} e \displaystyle y=\ln\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Observação importante: a função \displaystyle \cos^{-1}x (arccos) tem domínio \displaystyle [-1,1], então \displaystyle x=\frac{1}{2} está no domínio.

Passo 2

Vamos achar a derivada y'(x) da função para obter a inclinação da reta tangente. Primeiro, recorda algumas regras essenciais (vou explicar devagarzinho):
Regra 1 — derivada do ln: se \displaystyle y=\ln(u(x)), então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui \displaystyle u(x) é qualquer função diferenciável; u'(x) é a derivada de u.
Regra 2 — derivada da função \displaystyle \cos^{-1}x: se \displaystyle v(x)=\cos^{-1}x, podemos obter v'(x) usando a derivada da função inversa. Seja \displaystyle y=\cos^{-1}x. Então \displaystyle x=\cos y. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
1 = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}.
Logo
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}.
Mas como \displaystyle \cos y = x, temos \displaystyle \sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{1-x^2} (a raiz positiva porque \displaystyle y=\cos^{-1}x\in[0,\pi] e aí \sin y\ge0). Portanto
\frac{d}{dx}\big(\cos^{-1}x\big) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Agora aplicamos a Regra 1 com u(x)=\cos^{-1}x. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\cos^{-1}x} = -\frac{1}{\cos^{-1}x\;\sqrt{1-x^2}}.
Esse é o y'(x) genérico.

Passo 3

Vamos avaliar a derivada em \displaystyle x=\frac{1}{2}.
Primeiro, verifico que o ponto bate com a função:
\cos^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{3},
pois \displaystyle \cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}. Então \displaystyle y=\ln\!\left(\cos^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\right)=\ln\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right), que é exatamente o y dado — ponto confirmado.
Agora calcule a raiz:
\sqrt{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{1-\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em \displaystyle y'(x)=-\dfrac{1}{\cos^{-1}x\;\sqrt{1-x^2}} com \displaystyle x=\tfrac{1}{2} e \displaystyle \cos^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{3}, obtemos
y'\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\frac{1}{\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}.
Calculo o denominador passo a passo:
\left(\tfrac{\pi}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi\sqrt{3}}{6}.
Então
y'\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\frac{1}{\dfrac{\pi\sqrt{3}}{6}} = -\frac{6}{\pi\sqrt{3}}.
Simplifico -\dfrac{6}{\pi\sqrt{3}}: multiplico numerador e denominador por \sqrt{3},
-\frac{6}{\pi\sqrt{3}} = -\frac{6\sqrt{3}}{\pi(\sqrt{3}\sqrt{3})} = -\frac{6\sqrt{3}}{3\pi} = -\frac{2\sqrt{3}}{\pi}.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto dado é -\dfrac{2\sqrt{3}}{\pi}. Boa! Conseguiu acompanhar — respirou, fez passo a passo e simplificou direitinho.

Resposta

-\dfrac{2\sqrt{3}}{\pi}

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