Questão 5 - Um alpinista estuda o relevo de uma região antes de iniciar sua subida. A altitude (em metros) em função
da posição (
) no plano do mapa (em quilômetros) é dada por
No instante inicial, o alpinista encontra-se no ponto
.
(a) O alpinista decide seguir a trilha que parte de
na direção do vetor
. Determine a taxa de variação da altitude ao longo dessa trilha no ponto
.
Obs.: Lembre-se de usar o vetor unitário
.
(b) Suponha agora que o alpinista queira maximizar a taxa de subida a partir do ponto
. Em que direção ele deve caminhar e qual será a taxa máxima de crescimento da altitude nessa direção?
da posição (
(a) O alpinista decide seguir a trilha que parte de
Obs.: Lembre-se de usar o vetor unitário
(b) Suponha agora que o alpinista queira maximizar a taxa de subida a partir do ponto
Passo 1
O enunciado dá a altitude como função da posição no mapa:
O alpinista começa no ponto
. Pedidos:
(a) Calcular a taxa de variação da altitude ao longo da trilha que parte de na direção do vetor
. Observação do enunciado: usar o vetor unitário
.
(b) Determinar a direção a partir de que maximiza a taxa de subida e qual é essa taxa máxima.
(a) Calcular a taxa de variação da altitude ao longo da trilha que parte de
(b) Determinar a direção a partir de
Informações relevantes listadas:
Passo 2
Vamos lembrar o conceito-chave que vamos usar: o vetor gradiente e a derivada direcional.
- Definição do gradiente: o gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais de . Escrevendo em componentes,
Intuição:
aponta na direção de maior crescimento de
e seu comprimento dá a taxa máxima de aumento por unidade de deslocamento.
- Derivada direcional em direção do vetor unitário
: a taxa de variação de numa direção unitária em um ponto é o produto escalar entre o gradiente e :
Por isso é importante usar
unitário: a derivada direcional mede variação por unidade de deslocamento.
Agora vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: derivada de
é
; derivada de
em relação a
é
; termos constantes e em
puro caem.
- Derivada parcial em relação a
:
Explicação: derivada de
é
; derivada de
em relação a
é
.
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituímos
e
em
:
Logo
Interpretação rápida: neste ponto, a maior subida ocorre na direção do vetor
, e a maior descida na direção oposta
.
Passo 5
Resolver (a): taxa de variação ao longo da trilha dada por
.
Primeiro precisamos do vetor unitário na direção de
. Calcule a norma de
:
Então o vetor unitário é
A derivada direcional em
na direção de
é o produto escalar
. Calculamos:
Isso dá
Simplificando a fração racionalizando:
Unidade: como
está em metros e
em quilômetros, essa taxa está em metros por quilômetro.
Portanto a taxa de variação pedida é
metros por quilômetro (positiva, então ele sobe nessa direção).
Passo 6
Resolver (b): direção que maximiza a taxa de subida e taxa máxima.
Teorema-chave: a derivada direcional é maximizada na direção do gradiente. A direção do máximo aumento em um ponto é a direção do vetor
naquele ponto. A taxa máxima de crescimento é exatamente o comprimento do gradiente
.
Já temos
. O vetor de direção de máximo aumento (em forma unitária) é
Calcule a norma:
Logo o vetor unitário na direção de máximo aumento é
Isso significa: para maximizar a subida, o alpinista deve caminhar exatamente na direção negativa do eixo
(isto é, diminuindo
), com componente em
nula.
A taxa máxima de crescimento é a norma do gradiente:
Unidade:
metros por quilômetro.
Resposta
(a)
metros por quilômetro.
(b) Direção
e taxa máxima
metros por quilômetro.