Questão 5 - Um alpinista estuda o relevo de uma região antes de iniciar sua subida. A altitude (em metros) em função
da posição ( x, y ) no plano do mapa (em quilômetros) é dada por
h(x, y)=200-x^{2}-4 y^{2}+x y
No instante inicial, o alpinista encontra-se no ponto P=(1,2).
(a) O alpinista decide seguir a trilha que parte de P na direção do vetor v=(2,-1). Determine a taxa de variação da altitude ao longo dessa trilha no ponto P.
Obs.: Lembre-se de usar o vetor unitário u=v /\|v\|.
(b) Suponha agora que o alpinista queira maximizar a taxa de subida a partir do ponto P. Em que direção ele deve caminhar e qual será a taxa máxima de crescimento da altitude nessa direção?

Passo 1

O enunciado dá a altitude como função da posição no mapa:
h(x,y)=200-x^{2}-4y^{2}+xy.
O alpinista começa no ponto (1,2). Pedidos:
(a) Calcular a taxa de variação da altitude ao longo da trilha que parte de P=(1,2) na direção do vetor v=(2,-1). Observação do enunciado: usar o vetor unitário u=v/\|v\|.
(b) Determinar a direção a partir de P que maximiza a taxa de subida e qual é essa taxa máxima.
Informações relevantes listadas:
P=(1,2),\qquad v=(2,-1),\qquad h(x,y)=200-x^{2}-4y^{2}+xy.

Passo 2

Vamos lembrar o conceito-chave que vamos usar: o vetor gradiente e a derivada direcional.
  • Definição do gradiente: o gradiente de h é o vetor formado pelas derivadas parciais de h. Escrevendo em componentes,
\nabla h(x,y)=\left(\frac{\partial h}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial h}{\partial y}(x,y)\right).
Intuição: \nabla h aponta na direção de maior crescimento de h e seu comprimento dá a taxa máxima de aumento por unidade de deslocamento.
  • Derivada direcional em direção do vetor unitário u: a taxa de variação de h numa direção unitária u em um ponto é o produto escalar entre o gradiente e u:
D_{u}h(x,y)=\nabla h(x,y)\cdot u.
Por isso é importante usar u unitário: a derivada direcional mede variação por unidade de deslocamento.
Agora vamos calcular as derivadas parciais de h.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de h(x,y)=200-x^{2}-4y^{2}+xy.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial h}{\partial x}=-2x+y.
Explicação: derivada de -x^{2} é -2x; derivada de xy em relação a x é y; termos constantes e em y puro caem.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial h}{\partial y}=-8y+x.
Explicação: derivada de -4y^{2} é -8y; derivada de xy em relação a y é x.
Portanto o gradiente geral é
\nabla h(x,y)=(-2x+y,\; -8y+x).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(1,2).
Substituímos x=1 e y=2 em \nabla h(x,y):
\frac{\partial h}{\partial x}(1,2)=-2\cdot 1 + 2 = 0,
\frac{\partial h}{\partial y}(1,2)=-8\cdot 2 + 1 = -16+1 = -15.
Logo
\nabla h(1,2)=(0,\,-15).
Interpretação rápida: neste ponto, a maior subida ocorre na direção do vetor (0,-15), e a maior descida na direção oposta (0,15).

Passo 5

Resolver (a): taxa de variação ao longo da trilha dada por v=(2,-1).
Primeiro precisamos do vetor unitário na direção de v. Calcule a norma de v:
\|v\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Então o vetor unitário é
u=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\;-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
A derivada direcional em P na direção de u é o produto escalar \nabla h(1,2)\cdot u. Calculamos:
D_{u}h(1,2)=(0,\,-15)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\;-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) =0\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+(-15)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
Isso dá
D_{u}h(1,2)=\frac{15}{\sqrt{5}}.
Simplificando a fração racionalizando:
\frac{15}{\sqrt{5}}=\frac{15\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}.
Unidade: como h está em metros e x,y em quilômetros, essa taxa está em metros por quilômetro.
Portanto a taxa de variação pedida é 3\sqrt{5} metros por quilômetro (positiva, então ele sobe nessa direção).

Passo 6

Resolver (b): direção que maximiza a taxa de subida e taxa máxima.
Teorema-chave: a derivada direcional é maximizada na direção do gradiente. A direção do máximo aumento em um ponto é a direção do vetor \nabla h naquele ponto. A taxa máxima de crescimento é exatamente o comprimento do gradiente \|\nabla h\|.
Já temos \nabla h(1,2)=(0,-15). O vetor de direção de máximo aumento (em forma unitária) é
u_{\text{máx}}=\frac{\nabla h(1,2)}{\|\nabla h(1,2)\|}.á
Calcule a norma:
\|\nabla h(1,2)\|=\sqrt{0^{2}+(-15)^{2}}=15.
Logo o vetor unitário na direção de máximo aumento é
u_{\text{máx}}=\frac{(0,-15)}{15}=(0,-1).á
Isso significa: para maximizar a subida, o alpinista deve caminhar exatamente na direção negativa do eixo y (isto é, diminuindo y), com componente em x nula.
A taxa máxima de crescimento é a norma do gradiente:
\max D_{u}h(1,2)=\|\nabla h(1,2)\|=15.
Unidade: 15 metros por quilômetro.

Resposta

(a) 3\sqrt{5} metros por quilômetro.
(b) Direção (0,-1) e taxa máxima 15 metros por quilômetro.

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