Questão 4 - Obtenha uma aproximação para a variação do volume de um cilindro quando o raio r passa de 5 para 5,03 e a altura h passa de 10 para 9,98 .

Passo 1

O enunciado pede: obter uma aproximação para a variação do volume de um cilindro quando o raio muda de 5 para 5,03 e a altura muda de 10 para 9,98.\n
Informações dadas:
\;r_{\text{inicial}}=5, \;r_{\text{final}}=5,03, \;h_{\text{inicial}}=10, \;h_{\text{final}}=9,98.\n
O que precisamos fornecer: uma aproximação para \Delta V, a variação do volume do cilindro quando essas mudanças ocorrem.

Passo 2

Definimos a fórmula do volume do cilindro. O volume V de um cilindro em função do raio r e da altura h é
V=\pi r^{2} h
Aqui \pi é a constante pi, r é o raio e h é a altura. Essa é a expressão exata do volume para qualquer r e h.

Passo 3

Vamos pensar em pequenas variações de r e h. Se r muda um pouco e h muda um pouco, a variação do volume pode ser aproximada pela soma das variações parciais causadas por cada uma das mudanças (é a aproximação linear). Formalmente, aproximamos \Delta V por dV dado por
dV \approx \frac{\partial V}{\partial r}\,dr + \frac{\partial V}{\partial h}\,dh.
Explico cada termo:
  • \frac{\partial V}{\partial r} é a derivada parcial de V em relação a r, mantendo h fixo; quantifica quanto o volume muda por uma pequena mudança no raio.
  • \frac{\partial V}{\partial h} é a derivada parcial de V em relação a h, mantendo r fixo; quantifica quanto o volume muda por uma pequena mudança na altura.
  • dr e dh são as pequenas mudanças (incrementos) em r e h, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de V=\pi r^{2}h.\n
Derivando em relação a r (tratando h como constante):
\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi r h.
Derivando em relação a h (tratando r como constante):
\frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^{2}.
Explicação: para \partial V/\partial r usamos a regra da potência: \frac{d}{dr}(r^{2})=2r, e o \pi e h são constantes nesse processo. Para \partial V/\partial h é imediato porque V é linear em h.

Passo 5

Agora determinamos os incrementos dr e dh a partir dos valores inicial e final fornecidos:
dr = r_{\text{final}}-r_{\text{inicial}} = 5,03-5 = 0,03,
dh = h_{\text{final}}-h_{\text{inicial}} = 9,98-10 = -0,02.
Observação: dr é positivo (o raio aumentou) e dh é negativo (a altura diminuiu).

Passo 6

Aproximamos dV avaliando as derivadas parciais no ponto inicial (r,h)=(5,10) e multiplicando por dr e dh.\n
Calculemos as derivadas no ponto inicial:
\left.\frac{\partial V}{\partial r}\right|_{(5,10)} = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi,
\left.\frac{\partial V}{\partial h}\right|_{(5,10)} = \pi \cdot 5^{2} = 25\pi.

Passo 7

Agora substituímos em dV:
dV \approx 100\pi \cdot dr + 25\pi \cdot dh.
Substituindo dr=0,03 e dh=-0,02:
dV \approx 100\pi \cdot 0,03 + 25\pi \cdot (-0,02).

Passo 8

Fazendo as contas passo a passo (sem pular etapas):
100\pi \cdot 0,03 = (100 \cdot 0,03)\pi = 3\pi,
25\pi \cdot (-0,02) = (25 \cdot -0,02)\pi = -0,5\pi.
Somando:
dV \approx 3\pi - 0,5\pi = 2,5\pi.

Passo 9

Interpretação e valor numérico aproximado. O resultado em termos de \pi é
dV \approx 2,5\pi.
Se quisermos um valor numérico aproximado usando \pi\approx 3,14159:
dV \approx 2,5\pi \approx 2,5 \times 3,14159 \approx 7,85398.
Arredondando para duas casas decimais: 7,85.

Resposta

\Delta V \approx 2,5\pi \approx 7,85

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