Questão 4 - Obtenha uma aproximação para a variação do volume de um cilindro quando o raio r passa de 5 para 5,03 e a altura h passa de 10 para 9,98 .
Passo 1
O enunciado pede: obter uma aproximação para a variação do volume de um cilindro quando o raio muda de 5 para 5,03 e a altura muda de 10 para 9,98.\n
Informações dadas: \;r_{\text{inicial}}=5, \;r_{\text{final}}=5,03, \;h_{\text{inicial}}=10, \;h_{\text{final}}=9,98.\n
O que precisamos fornecer: uma aproximação para \Delta V, a variação do volume do cilindro quando essas mudanças ocorrem.
Passo 2
Definimos a fórmula do volume do cilindro. O volume V de um cilindro em função do raio r e da altura h é
V=\pi r^{2} h
Aqui \pi é a constante pi, r é o raio e h é a altura. Essa é a expressão exata do volume para qualquer r e h.
Passo 3
Vamos pensar em pequenas variações de r e h. Se r muda um pouco e h muda um pouco, a variação do volume pode ser aproximada pela soma das variações parciais causadas por cada uma das mudanças (é a aproximação linear). Formalmente, aproximamos \Delta V por dV dado por
dV \approx \frac{\partial V}{\partial r}\,dr + \frac{\partial V}{\partial h}\,dh.
Explico cada termo:
\frac{\partial V}{\partial r} é a derivada parcial de V em relação a r, mantendo h fixo; quantifica quanto o volume muda por uma pequena mudança no raio.
\frac{\partial V}{\partial h} é a derivada parcial de V em relação a h, mantendo r fixo; quantifica quanto o volume muda por uma pequena mudança na altura.
dr e dh são as pequenas mudanças (incrementos) em r e h, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de V=\pi r^{2}h.\n
Derivando em relação a r (tratando h como constante):
\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi r h.
Derivando em relação a h (tratando r como constante):
\frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^{2}.
Explicação: para \partial V/\partial r usamos a regra da potência: \frac{d}{dr}(r^{2})=2r, e o \pi e h são constantes nesse processo. Para \partial V/\partial h é imediato porque V é linear em h.
Passo 5
Agora determinamos os incrementos dr e dh a partir dos valores inicial e final fornecidos:
dr = r_{\text{final}}-r_{\text{inicial}} = 5,03-5 = 0,03,