Questão 2 - Considere a esfera
e a curva
tal que
e cuja imagem esteja contida na superfície de nível
. Determine a equação da reta tangente a curva
no ponto (
).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
-
Informações dadas:
- A função
é . - A curva
satisfaz . -
. - A imagem de
está contida na superfície de nível .
- A função
-
O que o problema pede:
- Determinar a equação da reta tangente à curva
no ponto .
- Determinar a equação da reta tangente à curva
Passo 2
Entendendo o que significa “reta tangente à curva” aqui (aula rápida e prática).
Quando uma curva está inteira numa superfície de nível
constante, a derivada
é um vetor tangente à superfície naquele ponto. Há um fato fundamental que vamos usar (vou explicar sem jargão pesado):
Quando uma curva
- O vetor gradiente de
em um ponto é perpendicular (ortogonal) a todas as direções tangentes à superfície de nível naquele ponto.
Isto é, seé o gradiente em e é qualquer vetor tangente à superfície em , então
Aqui
pode ser
porque
está na superfície.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
e avaliá‑lo no ponto dado.
-
A definição do gradiente é:
. -
Para
temos
- Avaliando em
:
Passo 4
Impondo a condição de ortogonalidade entre
e
.
- Escreva
(componentes desconhecidas, porque a curva não foi dada explicitamente). - A ortogonalidade dá
- Simplificando:
- Não há restrição sobre
; é livre. Como , pelo menos um entre e é não nulo.
Passo 5
Descrição das direções tangentes possíveis e da reta tangente.
- Os vetores tangentes
na situação devem ter a forma
com
.
- A reta tangente à curva
no ponto tem equação paramétrica geral (usando um parâmetro para a reta)
Isto é a forma mais direta: a reta parte de
e segue na direção
, que foi parcialmente caracterizada acima.
Passo 6
Escrever formas explícitas equivalentes (úteis na prova).
- Usando a base de direções
e , qualquer direção tangente é com . Assim uma escrita paramétrica explícita é
com
. Para cada escolha de
não nula obtemos uma possível reta tangente (correspondente a uma possível curva
passando por
e contida na superfície).
- Exemplos concretos (mostram que há infinitas retas tangentes possíveis, dependendo da curva
): - Se escolhermos direção
(ou seja ), a reta é - Se escolhermos direção
(ou seja ), a reta é
- Se escolhermos direção
Resposta
Equivalente: