Questão 2 - Considere a esfera f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e a curva \gamma tal que \gamma\left(t_{0}\right)=(2,1,0), \gamma^{\prime}\left(t_{0}\right) \neq(0,0,0) e cuja imagem esteja contida na superfície de nível f(x, y, z)=5. Determine a equação da reta tangente a curva \gamma no ponto ( 2,1,0 ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informações dadas:
    • A função f é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
    • A curva \gamma satisfaz \gamma(t_{0})=(2,1,0).
    • \gamma'(t_{0})\neq(0,0,0).
    • A imagem de \gamma está contida na superfície de nível f(x,y,z)=5.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a equação da reta tangente à curva \gamma no ponto (2,1,0).

Passo 2

Entendendo o que significa “reta tangente à curva” aqui (aula rápida e prática).
Quando uma curva \gamma está inteira numa superfície de nível f= constante, a derivada \gamma'(t_{0}) é um vetor tangente à superfície naquele ponto. Há um fato fundamental que vamos usar (vou explicar sem jargão pesado):
  • O vetor gradiente de f em um ponto é perpendicular (ortogonal) a todas as direções tangentes à superfície de nível naquele ponto.
    Isto é, se \nabla f(p) é o gradiente em p e v é qualquer vetor tangente à superfície em p, então
\nabla f(p)\cdot v = 0.
Aqui v pode ser \gamma'(t_{0}) porque \gamma está na superfície.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de f e avaliá‑lo no ponto dado.
  • A definição do gradiente é: \nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Para f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} temos
\nabla f(x,y,z) = (2x,\,2y,\,2z).
  • Avaliando em (2,1,0):
\nabla f(2,1,0) = (2\cdot 2,\,2\cdot 1,\,2\cdot 0) = (4,\,2,\,0).

Passo 4

Impondo a condição de ortogonalidade entre \nabla f(2,1,0) e \gamma'(t_{0}).
  • Escreva \gamma'(t_{0})=(a,b,c) (componentes desconhecidas, porque a curva não foi dada explicitamente).
  • A ortogonalidade dá
\nabla f(2,1,0)\cdot\gamma'(t_{0}) = 4a+2b+0c = 0.
  • Simplificando:
4a+2b=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2a+b=0 \quad\Longleftrightarrow\quad b=-2a.
  • Não há restrição sobre c; c é livre. Como \gamma'(t_{0})\neq(0,0,0), pelo menos um entre a e c é não nulo.

Passo 5

Descrição das direções tangentes possíveis e da reta tangente.
  • Os vetores tangentes \gamma'(t_{0}) na situação devem ter a forma
\gamma'(t_{0}) = (a,-2a,c) = a(1,-2,0) + c(0,0,1),
com (a,c)\neq(0,0).
  • A reta tangente à curva \gamma no ponto (2,1,0) tem equação paramétrica geral (usando um parâmetro s para a reta)
\ell(s) = (2,1,0) + s\,\gamma'(t_{0}).
Isto é a forma mais direta: a reta parte de (2,1,0) e segue na direção \gamma'(t_{0}), que foi parcialmente caracterizada acima.

Passo 6

Escrever formas explícitas equivalentes (úteis na prova).
  • Usando a base de direções (1,-2,0) e (0,0,1), qualquer direção tangente é \alpha(1,-2,0)+\beta(0,0,1) com (\alpha,\beta)\neq(0,0). Assim uma escrita paramétrica explícita é
(x,y,z)=(2,1,0)+s\big(\alpha, -2\alpha, \beta\big),
com (\alpha,\beta)\neq(0,0). Para cada escolha de (\alpha,\beta) não nula obtemos uma possível reta tangente (correspondente a uma possível curva \gamma passando por (2,1,0) e contida na superfície).
  • Exemplos concretos (mostram que há infinitas retas tangentes possíveis, dependendo da curva \gamma):
    • Se escolhermos direção (1,-2,0) (ou seja \alpha=1,\beta=0), a reta é x=2+s,\quad y=1-2s,\quad z=0.
    • Se escolhermos direção (0,0,1) (ou seja \alpha=0,\beta=1), a reta é x=2,\quad y=1,\quad z=s.

Resposta

\ell(s)=(2,1,0)+s\,\gamma'(t_{0}), com \nabla f(2,1,0)\cdot\gamma'(t_{0})=0 (isto é, 4\gamma_{1}'(t_{0})+2\gamma_{2}'(t_{0})=0).\n
Equivalente: \ell(s)=(2,1,0)+s(\alpha,-2\alpha,\beta), com (\alpha,\beta)\neq(0,0).

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