Questão 3:

Sabendo-se que o peso específico do solo, a uma umidade higroscópica de 6 \%, é igual 18 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}, e o peso específico das partículas é igual a 27,3 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}. Determine:
a) Peso específico do solo seco.
b) Índice de vazios.
c) Porosidade.
d) Grau de saturação.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Peso específico do solo, à umidade higroscópica de 6\%: \gamma = 18\\ \mathrm{kN/m^{3}}. (Aqui \gamma é o peso por unidade de volume do solo no estado úmido.)
    • Peso específico das partículas (dos grãos sólidos): \gamma_{s} = 27{,}3\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
    • Umidade higroscópica w = 6\% = 0{,}06 (fração massa de água / massa de sólidos).
  • Pedidos:
    (a) peso específico do solo seco \gamma_{d};
    (b) índice de vazios e;
    (c) porosidade n;
    (d) grau de saturação S_{r}.
Vou calcular cada item passo a passo e explicar as fórmulas e conceitos usados.

Passo 2

Calcular o peso específico do solo seco \gamma_{d}.
Conceito e fórmula:
  • A umidade w é definida como a razão entre a massa da água e a massa dos sólidos: w=\dfrac{m_{w}}{m_{s}}.
  • O peso específico úmido \gamma é o peso total (sólidos + água) por volume total; o peso específico seco \gamma_{d} é o peso dos sólidos por volume total.
  • Como pesos são proporcionais às massas, tem-se a relação simples
\gamma = \gamma_{d}\,(1+w).
Isto decorre de \gamma = \dfrac{(m_{s}+m_{w})g}{V}=\dfrac{m_{s}g}{V}\,(1+w)=\gamma_{d}(1+w).
Logo
\gamma_{d}=\dfrac{\gamma}{1+w}.
Aplicando os números:
\gamma_{d}=\dfrac{18}{1+0{,}06}=\dfrac{18}{1{,}06}=16{,}981132\dots\\ \mathrm{kN/m^{3}}\approx16{,}98\\ \mathrm{kN/m^{3}}.

Passo 3

Relacionar \gamma_{d}, \gamma_{s} e o índice de vazios e; determinar e.
Conceito e fórmula:
  • Seja V_{s} volume dos sólidos, V_{v} volume de vazios e V=V_{s}+V_{v} volume total.
  • Índice de vazios é definido por e=\dfrac{V_{v}}{V_{s}}.
  • Peso específico dos sólidos (partículas) é \gamma_{s}=\dfrac{m_{s}g}{V_{s}}.
  • Peso seco do solo é \gamma_{d}=\dfrac{m_{s}g}{V}.
  • Dividindo estas expressões:
\frac{\gamma_{d}}{\gamma_{s}}=\frac{V_{s}}{V}=\frac{1}{1+e}.
Portanto
\gamma_{d}=\frac{\gamma_{s}}{1+e}\quad\Longrightarrow\quad 1+e=\frac{\gamma_{s}}{\gamma_{d}}
e finalmente
e=\frac{\gamma_{s}}{\gamma_{d}}-1.
Cálculo numérico (usando \gamma_{d}=16{,}981132\dots e \gamma_{s}=27{,}3):
e=\frac{27{,}3}{16{,}981132\dots}-1=\;1{,}607666\dots -1 =0{,}607666\dots
Arredondando:
e\approx0{,}6077.

Passo 4

Calcular a porosidade n a partir de e.
Conceito e fórmula:
  • Porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios:
n=\frac{V_{v}}{V}=\frac{e}{1+e}.
Aplicando o valor de e:
n=\frac{0{,}607666\dots}{1+0{,}607666\dots}=\frac{0{,}607666\dots}{1{,}607666\dots}\approx0{,}3780.
Expressando em porcentagem, n\approx37{,}80\%.

Passo 5

Calcular o grau de saturação S_{r}.
Conceito e fórmula:
  • Grau de saturação S_{r} é a razão entre o volume de água nos vazios e o volume de vazios:
S_{r}=\frac{V_{w}}{V_{v}}.
  • Usando massas e densidades: V_{w}=\dfrac{m_{w}}{\rho_{w}}, V_{v}=e\,V_{s}=\dfrac{e\,m_{s}}{\rho_{s}}. Com w=\dfrac{m_{w}}{m_{s}} obtemos a relação clássica
S_{r}=\frac{w\,\rho_{s}}{e\,\rho_{w}}=\frac{w\,G_{s}}{e},
onde G_{s}=\dfrac{\rho_{s}}{\rho_{w}}=\dfrac{\gamma_{s}}{\gamma_{w}} é a gravidade específica dos sólidos e \gamma_{w} é o peso específico da água.
Assumiremos o peso específico da água padrão \gamma_{w}=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^{3}} (valor usual). Então
G_{s}=\frac{\gamma_{s}}{\gamma_{w}}=\frac{27{,}3}{9{,}81}\approx2{,}783.
Portanto
S_{r}=\frac{w\,G_{s}}{e}=\frac{0{,}06\cdot2{,}783}{0{,}607666\dots}\approx0{,}2748.
Em porcentagem, S_{r}\approx27{,}48\%, isto é, o solo está pouco saturado (condizente com umidade higroscópica).

Resposta

(a) \gamma_{d}=16{,}98\\ \mathrm{kN/m^{3}}
(b) e=0{,}6077
(c) n=0{,}3780 (ou 37{,}80\%)
(d) S_{r}=0{,}2748 (ou 27{,}48\%)

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