QUESTÃO 4. Uma amostra de 0,1 \mathrm{~mol} de \mathrm{He}_{(\mathrm{g})}, de comportamento ideal, cujo \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{v}}=1,5 \mathrm{R}, se encontra a 10,0 \mathrm{~atm} e 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás expande-se até a pressão de 1,0 \mathrm{~atm}. Determine \mathrm{Q}, \mathrm{W}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H} em cada um dos seguintes processos:
(0,4 ponto). A expansão é adiabática e reversível;

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
Pergunta: determinar Q, W, \Delta U e \Delta H para a expansão adiabática reversível indicada.
Dados fornecidos:
n=0,1\\ \mathrm{mol}
\overline{C}_V = 1,5\,R
P_1 = 10,0\\ \mathrm{atm}
T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 300\\ \mathrm{K}
P_2 = 1,0\\ \mathrm{atm}
Condição do processo: expansão adiabática e reversível (ou seja, sem transferência de calor).

Passo 2

Primeiro ponto conceitual importante — o que significa “adiabática e reversível” para as quantidades termodinâmicas?
  • “Adiabática” significa que não há troca de calor com o ambiente, logo
Q=0.
  • Convenção de sinais que vou usar (a usual em muitos livros de termodinâmica): W é o trabalho realizado pelo sistema. A 1ª lei fica
\Delta U = Q - W.
Com Q=0 obtemos a relação útil
\Delta U = -W\quad\Rightarrow\quad W=-\Delta U.
Isto faz sentido físico: numa expansão adiabática reversível o gás faz trabalho ( W>0 ) e portanto sua energia interna cai ( \Delta U<0 ).

Passo 3

Precisamos do expoente adiabático \gamma. Para gases ideais:
C_P = C_V + R,
\gamma = \frac{C_P}{C_V}.
Substituindo C_V = 1,5\,R:
C_P = 1,5\,R + R = 2,5\,R,
\gamma = \frac{2,5\,R}{1,5\,R}=\frac{2{,}5}{1{,}5}=\frac{5}{3}\approx 1{,}6667.

Passo 4

Para uma expansão adiabática reversível de um gás ideal existe a relação entre temperaturas e pressões:
T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Aqui \displaystyle\frac{\gamma-1}{\gamma}=\frac{5/3-1}{5/3}=\frac{2/3}{5/3}=\frac{2}{5}=0{,}4.
Substituindo valores:
T_2 = 300\left(\frac{1{,}0}{10{,}0}\right)^{0{,}4}=300\cdot 10^{-0{,}4}.
Calculando 10^{-0{,}4}\approx 0{,}3981071706, então
T_2 \approx 300\cdot 0{,}3981071706 \approx 119{,}432\\ \mathrm{K}.
Vou arredondar mantendo 4 algarismos significativos quando necessário: T_2\approx 119{,}43\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Agora aplico a expressão da variação de energia interna para gás ideal monoatômico geral: para qualquer gás ideal
\Delta U = n\,\overline{C}_V\,(T_2-T_1).
Substituo n=0{,}1\\ \mathrm{mol}, \overline{C}_V=1{,}5\,R e R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}:
\overline{C}_V = 1{,}5\cdot 8{,}314 = 12{,}471\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
n\overline{C}_V = 0{,}1\cdot 12{,}471 = 1{,}2471\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Diferença de temperatura:
T_2-T_1 = 119{,}432 - 300 = -180{,}568\\ \mathrm{K}.
Logo
\Delta U = 1{,}2471\cdot(-180{,}568)\approx -225{,}11\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente: \Delta U\approx -225{,}1\\ \mathrm{J}.
Breve comentário didático: o sinal negativo indica que a energia interna do gás diminuiu — esperado, pois o gás perdeu energia fazendo trabalho durante a expansão adiabática.

Passo 6

Como vimos no Passo 2, para Q=0 vale \Delta U = -W. Portanto o trabalho realizado pelo gás é
W = -\Delta U \approx -(-225{,}11)\\ \mathrm{J} = +225{,}11\\ \mathrm{J}.
Arredondando: W\approx +225{,}1\\ \mathrm{J}.
Intuição: o gás realiza trabalho sobre o entorno, por isso W>0.

Passo 7

Agora a variação de entalpia para gás ideal é
\Delta H = n\,\overline{C}_P\,(T_2-T_1),
com \overline{C}_P=\overline{C}_V+R=2{,}5\,R. Calculo numérico:
\overline{C}_P = 2{,}5\cdot 8{,}314 = 20{,}785\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
n\overline{C}_P = 0{,}1\cdot 20{,}785 = 2{,}0785\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
Logo
\Delta H = 2{,}0785\cdot(-180{,}568)\approx -375{,}18\\ \mathrm{J}.
Arredondando: \Delta H\approx -375{,}2\\ \mathrm{J}.
Comentário: \Delta H também fica negativa porque T caiu; para gases ideais \Delta H = \Delta U + \Delta(nRT) = \Delta U + nR\Delta T, que conduz ao mesmo resultado.

Passo 8

Resumo dos resultados calculados (valores arredondados com 4 dígitos significativos onde apropriado):
  • Q=0 (por ser adiabático),
  • \Delta U\approx -225{,}1\\ \mathrm{J},
  • W\approx +225{,}1\\ \mathrm{J},
  • \Delta H\approx -375{,}2\\ \mathrm{J}.
Força aí — mesmo vindo do zero, você chegou até aqui com a solução completa passo a passo!

Resposta

Q=0\\ \mathrm{J}
W=+225{,}1\\ \mathrm{J}
\Delta U=-225{,}1\\ \mathrm{J}
\Delta H=-375{,}2\\ \mathrm{J}

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