QUESTÃO 4. Uma amostra de 0,1 \mathrm{~mol} de \mathrm{He}_{(\mathrm{g})}, de comportamento ideal, cujo \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{v}}=1,5 \mathrm{R}, se encontra a 10,0 \mathrm{~atm} e 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás expande-se até a pressão de 1,0 \mathrm{~atm}. Determine \mathrm{Q}, \mathrm{W}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H} em cada um dos seguintes processos:
(0,4 ponto). A expansão é adiabática e no vácuo (livre).

Passo 1

Enunciado resumido — o que o exercício pede e o que é dado:
  • Pede-se determinar Q, W, \Delta U e \Delta H para a expansão descrita.
  • A transformação é: expansão adiabática e no vácuo (expansão livre).
  • Dados fornecidos:
    • quantidade de matéria n = 0,1 mol;
    • capacidade molar a volume constante \overline{C}_v = 1,5\,R;
    • pressão inicial P_1 = 10{,}0 atm;
    • temperatura inicial T_1 = 27^\circ\mathrm{C};
    • pressão final P_2 = 1{,}0 atm.
  • Observação: o gás é ideal e comporta-se como ideal.

Passo 2

Primeiro lembrete importante (fórmula e significado): a Primeira Lei da Termodinâmica para um sistema fechado é
\Delta U = Q - W,
onde:
  • \Delta U é a variação da energia interna do sistema (J);
  • Q é o calor absorvido pelo sistema (J), positivo se recebido;
  • W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (J), positivo se o sistema realiza trabalho.
    Vou usar essa fórmula porque relaciona diretamente Q, W e \Delta U.

Passo 3

Característica da expansão livre (adiabática e no vácuo):
  • “Adiabática” significa que não há troca de calor com o ambiente, portanto
Q = 0.
  • “No vácuo” (expansão livre) significa que o gás expande contra pressão externa nula; o trabalho realizado pelo gás é
W = \int P_{\text{ext}}\,dV,
e como P_{\text{ext}}=0 durante a expansão livre,
W = 0.
Portanto, para esta transformação temos imediatamente Q=0 e W=0.

Passo 4

Aplicando a Primeira Lei com Q=0 e W=0:
\Delta U = Q - W = 0 - 0 = 0.
Explicação física: a energia interna não muda nessa expansão livre. Para gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura, então isso implica que a temperatura não muda.

Passo 5

Relação entre variação da energia interna e variação de temperatura para gás ideal:
\Delta U = n\,\overline{C}_v\,\Delta T,
onde \overline{C}_v é a capacidade molar a volume constante e \Delta T = T_2 - T_1. Como acabamos de obter \Delta U=0 e n e \overline{C}_v são finitos, segue que \Delta T=0, ou seja
T_2 = T_1.
Converteremos a temperatura inicial para kelvin (apenas para referência numérica):
T_1 = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273 = 300\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Variação da entalpia para gás ideal:
  • Para um gás ideal a entalpia molar \overline{C}_p relaciona-se com \overline{C}_v por
\overline{C}_p = \overline{C}_v + R,
onde R é a constante dos gases ideais.
  • A variação de entalpia é
\Delta H = n\,\overline{C}_p\,\Delta T.
Como \Delta T=0, tem-se imediatamente
\Delta H = 0.

Passo 7

Cálculo numérico ilustrativo (opcional, para ver unidades):
  • \overline{C}_v = 1{,}5\,R. Usando R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
\overline{C}_v = 1{,}5\cdot 8{,}314 \approx 12{,}471\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Mesmo assim, \Delta U = n\,\overline{C}_v\,\Delta T = 0{,}1\cdot 12{,}471\cdot 0 = 0\\ \mathrm{J}.
  • \overline{C}_p = \overline{C}_v + R = 2{,}5\,R \approx 20{,}785\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e
\Delta H = n\,\overline{C}_p\,\Delta T = 0{,}1\cdot 20{,}785\cdot 0 = 0\\ \mathrm{J}.
Todos os valores numéricos confirmam as conclusões deduzidas anteriormente.

Resposta

Q = 0\\ \mathrm{J}
W = 0\\ \mathrm{J}
\Delta U = 0\\ \mathrm{J}
\Delta H = 0\\ \mathrm{J}

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