QUESTÃO 4. Uma amostra de 0,1 \mathrm{~mol} de \mathrm{He}_{(\mathrm{g})}, de comportamento ideal, cujo \overline{\mathrm{C}}_{\mathrm{v}}=1,5 \mathrm{R}, se encontra a 10,0 \mathrm{~atm} e 27^{\circ} \mathrm{C}. O gás expande-se até a pressão de 1,0 \mathrm{~atm}. Determine \mathrm{Q}, \mathrm{W}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H} em cada um dos seguintes processos:
(0,4 ponto). A expansão é adiabática e no vácuo (livre).
Passo 1
Enunciado resumido — o que o exercício pede e o que é dado:
Pede-se determinar Q, W, \Delta U e \Delta H para a expansão descrita.
A transformação é: expansão adiabática e no vácuo (expansão livre).
Dados fornecidos:
quantidade de matéria n = 0,1 mol;
capacidade molar a volume constante \overline{C}_v = 1,5\,R;
pressão inicial P_1 = 10{,}0 atm;
temperatura inicial T_1 = 27^\circ\mathrm{C};
pressão final P_2 = 1{,}0 atm.
Observação: o gás é ideal e comporta-se como ideal.
Passo 2
Primeiro lembrete importante (fórmula e significado): a Primeira Lei da Termodinâmica para um sistema fechado é
\Delta U = Q - W,
onde:
\Delta U é a variação da energia interna do sistema (J);
Q é o calor absorvido pelo sistema (J), positivo se recebido;
W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente (J), positivo se o sistema realiza trabalho.
Vou usar essa fórmula porque relaciona diretamente Q, W e \Delta U.
Passo 3
Característica da expansão livre (adiabática e no vácuo):
“Adiabática” significa que não há troca de calor com o ambiente, portanto
Q = 0.
“No vácuo” (expansão livre) significa que o gás expande contra pressão externa nula; o trabalho realizado pelo gás é
W = \int P_{\text{ext}}\,dV,
e como P_{\text{ext}}=0 durante a expansão livre,
W = 0.
Portanto, para esta transformação temos imediatamente Q=0 e W=0.
Passo 4
Aplicando a Primeira Lei com Q=0 e W=0:
\Delta U = Q - W = 0 - 0 = 0.
Explicação física: a energia interna não muda nessa expansão livre. Para gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura, então isso implica que a temperatura não muda.
Passo 5
Relação entre variação da energia interna e variação de temperatura para gás ideal:
\Delta U = n\,\overline{C}_v\,\Delta T,
onde \overline{C}_v é a capacidade molar a volume constante e \Delta T = T_2 - T_1. Como acabamos de obter \Delta U=0 e n e \overline{C}_v são finitos, segue que \Delta T=0, ou seja
T_2 = T_1.
Converteremos a temperatura inicial para kelvin (apenas para referência numérica):