QUESTÃO 3 ( 0,4 ponto). Determine o trabalho envolvido quando
de
, a
de temperatura e 1,0atm de pressão, são submetidos a um aumento de pressão, isotermicamente e reversivelmente, até a pressão de
. Dado para a água:
.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho envolvido quando
de água, à temperatura constante
e pressão inicial
, são comprimidos reversivelmente e isotermicamente até a pressão final
. Dados fornecidos e informações relevantes:
Pergunta clara: calcular o trabalho
do processo reversível isotérmico de compressão. (Não é pedido energia térmica ou variação de energia interna, apenas o trabalho.)
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Para um processo reversível, o trabalho realizado sobre o sistema (usando a convenção
) é dado por
Aqui
é a pressão do sistema (igual à pressão externa infinitesimalmente diferente, por reversibilidade),
é o volume, e
o diferencial de volume.
- Para líquidos usamos a compressibilidade isoterma
, definida por
Isto significa que, a temperatura constante, um aumento de pressão reduz o volume segundo
. Explico: o sinal menos aparece porque aumentar
costuma diminuir
.
- A relação diferencial
é uma equação diferencial simples em . Podemos separá‑la e integrar para obter a dependência explícita , que usaremos para calcular o trabalho.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para
:
Integrando entre
e
:
Portanto
Comentário: esta expressão diz que o volume decresce exponencialmente com o aumento de pressão quando
é constante (a hipótese usual para pequenas variações). Agora substituímos
em
.
Passo 4
Expressar
em termos de
usando
. Usando
:
Fatorando
:
Para calcular essa integral, faça a mudança de variável
(então
vai de
a
, com
):
Separe em duas integrais:
Calcule cada integral (passo a passo):
Para
use integração por partes (ou fórmula conhecida):
Substituindo nas expressões e simplificando, obtemos a forma analítica final:
Ou, mais compacta,
Esta é a expressão exata (dentro da hipótese de
constante) para o trabalho em unidades de
se
estiver em litros e
em atm.
Passo 5
Agora vamos ao cálculo numérico passo a passo (sempre verificando unidades).
- Converter
para litros:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Agora avaliar a expressão para
(em ):
Faça as contas com cuidado (mostrando os passos intermediários):
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Passo 6
Converter para joules (unidade mais comum para trabalho):
Logo
Interpretação do sinal: usamos
; neste processo de compressão
, logo
. Assim
é o trabalho feito SOBRE o sistema (a energia entregue ao sistema na forma de trabalho). Se alguém pedisse o trabalho realizado PELO sistema, seria o oposto em sinal:
.