QUESTÃO 3 ( 0,4 ponto). Determine o trabalho envolvido quando 200,0 \mathrm{~mL} de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(1)}, a 25^{\circ} \mathrm{C} de temperatura e 1,0atm de pressão, são submetidos a um aumento de pressão, isotermicamente e reversivelmente, até a pressão de 100,0 \mathrm{~atm}. Dado para a água: \kappa=4,58 \times 10^{-5} \mathrm{~atm}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho envolvido quando 200{,}0\\ \mathrm{mL} de água, à temperatura constante 25^\circ\mathrm{C} e pressão inicial 1{,}0\\ \mathrm{atm}, são comprimidos reversivelmente e isotermicamente até a pressão final 100{,}0\\ \mathrm{atm}. Dados fornecidos e informações relevantes:
\begin{aligned} &V_i = 200{,}0\\ \mathrm{mL},\\\ &P_i = 1{,}0\\ \mathrm{atm},\\\ &P_f = 100{,}0\\ \mathrm{atm},\\\ &\kappa = 4{,}58\times 10^{-5}\\ \mathrm{atm^{-1}}. \end{aligned}
Pergunta clara: calcular o trabalho w do processo reversível isotérmico de compressão. (Não é pedido energia térmica ou variação de energia interna, apenas o trabalho.)

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Para um processo reversível, o trabalho realizado sobre o sistema (usando a convenção w=-\int P\,dV) é dado por
w = -\int_{V_i}^{V_f} P\,dV.
Aqui P é a pressão do sistema (igual à pressão externa infinitesimalmente diferente, por reversibilidade), V é o volume, e dV o diferencial de volume.
  • Para líquidos usamos a compressibilidade isoterma \kappa, definida por
\kappa \equiv -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T.
Isto significa que, a temperatura constante, um aumento de pressão reduz o volume segundo dV = -\kappa V\, dP. Explico: o sinal menos aparece porque aumentar P costuma diminuir V.
  • A relação diferencial dV = -\kappa V\, dP é uma equação diferencial simples em V(P). Podemos separá‑la e integrar para obter a dependência explícita V(P), que usaremos para calcular o trabalho.

Passo 3

Resolver a equação diferencial para V(P):
\frac{dV}{V} = -\kappa\, dP.
Integrando entre P_i e P:
\ln\!\left(\frac{V}{V_i}\right) = -\kappa (P-P_i).
Portanto
V(P) = V_i \exp\!\big[-\kappa (P-P_i)\big].
Comentário: esta expressão diz que o volume decresce exponencialmente com o aumento de pressão quando \kappa é constante (a hipótese usual para pequenas variações). Agora substituímos V(P) em w.

Passo 4

Expressar w em termos de P usando dV = (dV/dP)\,dP. Usando dV/dP = -\kappa V(P):
w = -\int_{V_i}^{V_f} P\,dV = -\int_{P_i}^{P_f} P\frac{dV}{dP}\,dP = -\int_{P_i}^{P_f} P\big(-\kappa V(P)\big)\,dP = \kappa \int_{P_i}^{P_f} P\,V_i e^{-\kappa(P-P_i)}\,dP.
Fatorando V_i:
w = \kappa V_i \int_{P_i}^{P_f} P\,e^{-\kappa(P-P_i)}\,dP.
Para calcular essa integral, faça a mudança de variável u=P-P_i (então u vai de 0 a \Delta P, com \Delta P\equiv P_f-P_i):
w = \kappa V_i \int_{0}^{\Delta P} (P_i+u)\,e^{-\kappa u}\,du.
Separe em duas integrais:
w = \kappa V_i\left[P_i\int_{0}^{\Delta P} e^{-\kappa u}\,du + \int_{0}^{\Delta P} u e^{-\kappa u}\,du\right].
Calcule cada integral (passo a passo):
\int_{0}^{\Delta P} e^{-\kappa u}\,du = \frac{1 - e^{-\kappa\Delta P}}{\kappa}.
Para \int_{0}^{\Delta P} u e^{-\kappa u}\,du use integração por partes (ou fórmula conhecida):
\int_{0}^{\Delta P} u e^{-\kappa u}\,du = \left[-\frac{u e^{-\kappa u}}{\kappa}\right]_0^{\Delta P} - \int_{0}^{\Delta P}\left(-\frac{e^{-\kappa u}}{\kappa}\right)du = -\frac{\Delta P e^{-\kappa\Delta P}}{\kappa} + \frac{1 - e^{-\kappa\Delta P}}{\kappa^2}.
Substituindo nas expressões e simplificando, obtemos a forma analítica final:
w = V_i\Big[P_i\big(1 - e^{-\kappa\Delta P}\big) + \frac{1}{\kappa}\big(1 - e^{-\kappa\Delta P}\big) - \Delta P\,e^{-\kappa\Delta P}\Big].
Ou, mais compacta,
w = V_i\Big[(P_i+\tfrac{1}{\kappa})(1 - e^{-\kappa\Delta P}) - \Delta P\,e^{-\kappa\Delta P}\Big].
Esta é a expressão exata (dentro da hipótese de \kappa constante) para o trabalho em unidades de \mathrm{L\cdot atm} se V_i estiver em litros e P em atm.

Passo 5

Agora vamos ao cálculo numérico passo a passo (sempre verificando unidades).
  • Converter V_i para litros:
V_i = 200{,}0\\ \mathrm{mL} = 0{,}2000\\ \mathrm{L}.
  • Calcular \Delta P:
\Delta P = P_f - P_i = 100{,}0 - 1{,}0 = 99{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Calcular \kappa\Delta P:
\kappa\Delta P = 4{,}58\times 10^{-5}\times 99{,}0 = 0{,}0045342.
  • Calcular e^{-\kappa\Delta P}:
e^{-\kappa\Delta P} \approx e^{-0{,}0045342} \approx 0{,}99547606.
  • Agora avaliar a expressão para w (em \mathrm{L\cdot atm}):
\begin{aligned} w &= 0{,}2000\Big[(1{,}0+\tfrac{1}{4{,}58\times 10^{-5}})(1 - 0{,}99547606) - 99{,}0\times 0{,}99547606\Big]\\\ &\approx 0{,}2000\Big[(21835{,}0611)(0{,}00452394) - 98{,}5521303\Big] . \end{aligned}
Faça as contas com cuidado (mostrando os passos intermediários):
(P_i+\tfrac{1}{\kappa})(1-e^{-\kappa\Delta P}) \approx 21835{,}0611\times 0{,}00452394 \approx 98{,}780429,
\Delta P\,e^{-\kappa\Delta P} \approx 99{,}0\times 0{,}99547606 \approx 98{,}552130.
Subtraindo:
98{,}780429 - 98{,}552130 \approx 0{,}228299.
Multiplicando por V_i=0{,}2000\\ \mathrm{L}:
w \approx 0{,}2000\times 0{,}228299 \approx 0{,}0456598\\ \mathrm{L\cdot atm}.

Passo 6

Converter para joules (unidade mais comum para trabalho):
1\\ \mathrm{L\cdot atm} = 101{,}325\\ \mathrm{J}.
Logo
w \approx 0{,}0456598\times 101{,}325 \approx 4{,}63\\ \mathrm{J}.
Interpretação do sinal: usamos w=-\int P\,dV; neste processo de compressão dV<0, logo w>0. Assim w\approx 4{,}63\\ \mathrm{J} é o trabalho feito SOBRE o sistema (a energia entregue ao sistema na forma de trabalho). Se alguém pedisse o trabalho realizado PELO sistema, seria o oposto em sinal: -4{,}63\\ \mathrm{J}.

Resposta

w = 4{,}63\\ \mathrm{J}

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