QUESTÃO2 ( \mathbf{0 , 4} ponto). Calcule o volume molar da \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{l})} a 50^{\circ} \mathrm{C} e 200 atm . Dados para a água: d_{52}^{\text {latm }}=0,9874 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ; M=18,02 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ; \alpha=4,576 \times 10^{-4} \mathrm{~K}^{-1} ; \kappa=44,17 \times 10^{-6} \mathrm{~atm}^{-1}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o volume molar da \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}_{(\ell)} nas condições T=50^\circ\mathrm{C} e P=200\\ \mathrm{atm}.
Informações fornecidas (vou listar exatamente como estão no enunciado):
d_{52}^{1\mathrm{atm}} = 0,9874\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3
M = 18,02\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}
\alpha = 4,576\times 10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1}
\kappa = 44,17\times 10^{-6}\\ \mathrm{atm}^{-1}
Observação implícita: a densidade informada \,d_{52}^{1\mathrm{atm}}\, é a densidade da água à temperatura próxima de 52^\circ\mathrm{C} e à pressão 1\\ \mathrm{atm}. Queremos o volume molar em 50^\circ\mathrm{C} e 200\\ \mathrm{atm}. Vou usar a densidade dada como condição de referência em T_0=52^\circ\mathrm{C} e P_0=1\\ \mathrm{atm}.

Passo 2

Como obter o volume molar inicial a partir da densidade: o volume molar V_m (em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}) relacionado à densidade \rho (em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3) e massa molar M (em \mathrm{g}/\mathrm{mol}) é
V_m = \frac{M}{\rho}.
Explicação didática: a densidade é massa por volume ( \rho = \frac{m}{V}). Para um mol, a massa é M, logo o volume ocupado por 1 mol é V=\frac{M}{\rho}. Certifique-se de usar as mesmas unidades (aqui deixamos \rho em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 e M em \mathrm{g}/\mathrm{mol} para obter V_m em \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}).

Passo 3

Definição e fórmula para ajustar volume com mudança de temperatura e pressão (aproximação linear de primeira ordem):
\frac{\mathrm{d}V}{V} = \alpha\,\mathrm{d}T - \kappa\,\mathrm{d}P.
Explicação didática:
  • \alpha é o coeficiente volumétrico de expansão térmica: \alpha = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P. Significado: fração de variação do volume por unidade de temperatura, à pressão constante.
  • \kappa é a compressibilidade isotérmica: \kappa = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T. Significado: quanto o volume muda por unidade de pressão (o sinal negativo faz \kappa positivo para materiais que diminuem de volume quando a pressão aumenta).
  • \mathrm{d}T e \mathrm{d}P são as variações de temperatura e pressão que aplicamos partindo da condição de referência.
    Usamos essa relação linear porque as variações de temperatura e pressão aqui são relativamente pequenas e líquidos têm \alpha e \kappa pequenos; na prova é comum aplicar essa aproximação para estimativas precisas o suficiente.

Passo 4

Calcular o volume molar na condição de referência T_0=52^\circ\mathrm{C},\,P_0=1\\ \mathrm{atm} usando a densidade dada:
V_{m,0}=\frac{M}{\rho_0}=\frac{18,02\\ \mathrm{g}/\mathrm{mol}}{0,9874\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3}.
Agora a conta:
V_{m,0}\approx 18,24995\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}\approx 18,25\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.
Comentário: fiz a divisão direta; arredondei apresentado com dois decimais porque os dados iniciais têm 4 algarismos.

Passo 5

Determinar as variações \mathrm{d}T e \mathrm{d}P para ir de (T_0,P_0) até (50^\circ\mathrm{C},200\\ \mathrm{atm}):
\mathrm{d}T = T - T_0 = 50^\circ\mathrm{C}-52^\circ\mathrm{C} = -2\\ \mathrm{K}.
\mathrm{d}P = P - P_0 = 200\\ \mathrm{atm} - 1\\ \mathrm{atm} = 199\\ \mathrm{atm}.
Obs.: usamos \mathrm{K} e ^\circ\mathrm{C} indistintamente para variações (uma variação de 1^\circ\mathrm{C} = 1\\ \mathrm{K}).

Passo 6

Calcular a variação fracionária \frac{\mathrm{d}V}{V} usando os valores de \alpha e \kappa:
\frac{\mathrm{d}V}{V} = \alpha\,\mathrm{d}T - \kappa\,\mathrm{d}P.
Substituindo números:
\alpha\,\mathrm{d}T = (4,576\times 10^{-4}\\ \mathrm{K}^{-1})(-2\\ \mathrm{K}) = -9,152\times 10^{-4}.
\kappa\,\mathrm{d}P = (44,17\times 10^{-6}\\ \mathrm{atm}^{-1})(199\\ \mathrm{atm}) = 8,78983\times 10^{-3}.
Logo
\frac{\mathrm{d}V}{V} = -9,152\times 10^{-4} - 8,78983\times 10^{-3} = -9,70503\times 10^{-3}.
Interpretação: o volume diminui aproximadamente 0{,}9705\% ao passar das condições de referência para as finais; a compressão devido ao aumento de pressão domina aqui.

Passo 7

Calcular o volume molar na condição pedida usando V_m = V_{m,0}\,(1+\frac{\mathrm{d}V}{V}):
V_m = 18,24995\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}\times\bigl(1 - 9,70503\times 10^{-3}\bigr).
Fazendo a conta:
V_m \approx 18,24995\times 0,99029497 \approx 18,0728\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.
Arredondando de forma razoável (consistente com os dados): V_m\approx 18,07\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.

Passo 8

Breve justificativa da aproximação usada: usei a expansão linear de primeira ordem \frac{\mathrm{d}V}{V}=\alpha\,\mathrm{d}T-\kappa\,\mathrm{d}P. Para líquidos e mudanças relativamente pequenas de T e P essa aproximação é prática e suficientemente precisa para a maioria de provas. Se desejássemos extrema precisão em grandes variações de P ou T, precisaríamos integrar valores de \alpha e \kappa que variam com T,P.

Resposta

V_m = 18,07\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}

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