Questão 3: Análise do Critério de
Constante
a) Considerando a correlação empírica:
onde
é a velocidade superficial do gás, mostre que manter
constante implica em manter
constante se
for mantida constante.
b) Calcule a razão
necessária se:
-
-
aumenta em
no protótipo
-
deve ser mantido constante
b) Calcule a razão
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que, a partir da correlação empírica
manter
constante implica manter
constante quando
é mantida constante.
2. Calcular a razão necessária quando
,
,
aumenta em
no protótipo e
deve ser mantido constante.
2. Calcular a razão
Informações dadas que vamos usar:
com
constante da correlação,
,
e
(protótipo tem
a mais de
).
A resolução começa a seguir.
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Entendendo a fórmula:
é dado por uma constante multiplicativa
vezes potências de duas quantidades:
-
: potência da potência por volume (onde é potência e é volume), com expoente . -
: potência da velocidade superficial do gás , com expoente .
Matematicamente, se duas grandezas multiplicativas produzem um produto constante, e uma dessas grandezas é fixa, então a outra também deve ficar fixa (desde que os expoentes sejam positivos). Vamos fazer isso de forma algébrica e formal.
Passo 3
Demonstração do item (a). Considere dois estados (por exemplo modelo “m” e protótipo “p”) em que se deseja o mesmo
, ou seja
Usando a correlação para cada caso:
Cancele
dos dois lados:
Agora suponha que
(ou seja,
é mantida constante). Então as potências de
também se cancelam e resta
Como
, tirar a potência
-ésima de ambos os lados dá
Portanto, se
for mantida constante, manter
constante implica manter
constante. (Fim da demonstração do item (a).)
Passo 4
Resolução do item (b). Agora
não é igual nos dois casos: no protótipo
. Queremos a razão
que mantém
constante.
Partimos da igualdade já escrita:
Isolando a razão de
temos
Aplicando a potência
em ambos os lados:
Passo 5
Substituímos os valores numéricos dados:
,
e
. Então
O expoente é
Logo
Passo 6
Cálculo numérico e interpretação. Podemos escrever
ou calcular numericamente:
Significado físico: como
aumentou
no protótipo, para manter
constante é preciso reduzir
para cerca de
do valor do modelo (uma redução de aproximadamente
).
Resposta
(a) Se
é mantida constante, manter
constante implica manter
constante.
(b)
(b)