Questão 3: Análise do Critério de k_{L} a Constante

a) Considerando a correlação empírica:
k_{L} a=K\left(\frac{P}{V}\right)^{\alpha}\left(V_{s}\right)^{\beta}
onde V_{s} é a velocidade superficial do gás, mostre que manter k_{L} a constante implica em manter P / V constante se V_{s} for mantida constante.
b) Calcule a razão \frac{(P / V)_{p}}{(P / V)_{m}} necessária se:
  • \alpha=0.6, \beta=0.4
  • V_{s} aumenta em 20 \% no protótipo
  • k_{L} a deve ser mantido constante

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que, a partir da correlação empírica
k_{L}a = K\left(\frac{P}{V}\right)^{\alpha}\left(V_{s}\right)^{\beta},
manter k_{L}a constante implica manter P/V constante quando V_{s} é mantida constante.
2. Calcular a razão \dfrac{(P/V)_{p}}{(P/V)_{m}} necessária quando \alpha=0,6, \beta=0,4, V_{s} aumenta em 20\% no protótipo e k_{L}a deve ser mantido constante.
Informações dadas que vamos usar:
k_{L}a = K\left(\frac{P}{V}\right)^{\alpha}\left(V_{s}\right)^{\beta},
com K constante da correlação, \alpha=0,6, \beta=0,4 e V_{s,p}=1{,}20\,V_{s,m} (protótipo tem 20\% a mais de V_s).
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Entendendo a fórmula: k_{L}a é dado por uma constante multiplicativa K vezes potências de duas quantidades:
  • \left(\dfrac{P}{V}\right)^{\alpha}: potência da potência por volume (onde P é potência e V é volume), com expoente \alpha.
  • \left(V_{s}\right)^{\beta}: potência da velocidade superficial do gás V_{s}, com expoente \beta.
Matematicamente, se duas grandezas multiplicativas produzem um produto constante, e uma dessas grandezas é fixa, então a outra também deve ficar fixa (desde que os expoentes sejam positivos). Vamos fazer isso de forma algébrica e formal.

Passo 3

Demonstração do item (a). Considere dois estados (por exemplo modelo “m” e protótipo “p”) em que se deseja o mesmo k_{L}a, ou seja
k_{L}a_{m}=k_{L}a_{p}.
Usando a correlação para cada caso:
K\left(\frac{P}{V}\right)_{m}^{\alpha}\left(V_{s,m}\right)^{\beta} = K\left(\frac{P}{V}\right)_{p}^{\alpha}\left(V_{s,p}\right)^{\beta}.
Cancele K dos dois lados:
\left(\frac{P}{V}\right)_{m}^{\alpha}\left(V_{s,m}\right)^{\beta} = \left(\frac{P}{V}\right)_{p}^{\alpha}\left(V_{s,p}\right)^{\beta}.
Agora suponha que V_{s,m}=V_{s,p} (ou seja, V_{s} é mantida constante). Então as potências de V_{s} também se cancelam e resta
\left(\frac{P}{V}\right)_{m}^{\alpha}=\left(\frac{P}{V}\right)_{p}^{\alpha}.
Como \alpha>0, tirar a potência \alpha-ésima de ambos os lados dá
\left(\frac{P}{V}\right)_{m}=\left(\frac{P}{V}\right)_{p}.
Portanto, se V_{s} for mantida constante, manter k_{L}a constante implica manter \dfrac{P}{V} constante. (Fim da demonstração do item (a).)

Passo 4

Resolução do item (b). Agora V_{s} não é igual nos dois casos: no protótipo V_{s,p}=1{,}20\,V_{s,m}. Queremos a razão \dfrac{(P/V)_{p}}{(P/V)_{m}} que mantém k_{L}a constante.
Partimos da igualdade já escrita:
\left(\frac{P}{V}\right)_{m}^{\alpha}\left(V_{s,m}\right)^{\beta} = \left(\frac{P}{V}\right)_{p}^{\alpha}\left(V_{s,p}\right)^{\beta}.
Isolando a razão de (P/V) temos
\left(\frac{(P/V)_{p}}{(P/V)_{m}}\right)^{\alpha} = \left(\frac{V_{s,m}}{V_{s,p}}\right)^{\beta}.
Aplicando a potência 1/\alpha em ambos os lados:
\frac{(P/V)_{p}}{(P/V)_{m}} = \left(\frac{V_{s,m}}{V_{s,p}}\right)^{\beta/\alpha}.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos dados: \alpha=0{,}6, \beta=0{,}4 e V_{s,p}=1{,}20\,V_{s,m}. Então
\frac{V_{s,m}}{V_{s,p}}=\frac{1}{1{,}20}=\frac{5}{6}.
O expoente é
\frac{\beta}{\alpha}=\frac{0{,}4}{0{,}6}=\frac{2}{3}.
Logo
\frac{(P/V)_{p}}{(P/V)_{m}} = \left(\frac{5}{6}\right)^{2/3}.

Passo 6

Cálculo numérico e interpretação. Podemos escrever
\left(\frac{5}{6}\right)^{2/3}=\left(\frac{25}{36}\right)^{1/3},
ou calcular numericamente:
\left(\frac{5}{6}\right)^{2/3}\approx 0{,}8855\approx 0{,}886.
Significado físico: como V_{s} aumentou 20\% no protótipo, para manter k_{L}a constante é preciso reduzir \dfrac{P}{V} para cerca de 88{,}6\% do valor do modelo (uma redução de aproximadamente 11{,}4\%).

Resposta

(a) Se V_{s} é mantida constante, manter k_{L}a constante implica manter \dfrac{P}{V} constante.
(b) \dfrac{(P/V)_{p}}{(P/V)_{m}}=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2/3}\approx 0{,}886

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