Questão 1: Análise Dimensional e Grupos Adimensionais

a) Utilizando o Teorema \pi de Buckingham, determine os grupos adimensionais relevantes para o sistema de agitação.
b) Escreva as expressões para:
  • Número de Reynolds do agitador (Re)
  • Número de Potência (Po)
  • Número de Sherwood modificado ( S h^{\prime} ) para transferência de oxigênio
    c) Justifique por que o Número de Potência pode ser considerado constante em regime turbulento.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) usar o Teorema \pi de Buckingham para determinar os grupos adimensionais relevantes para um sistema de agitação;
  • (b) escrever as expressões para: número de Reynolds do agitador ( Re), número de potência ( Po) e número de Sherwood modificado ( Sh') para transferência de oxigênio;
  • (c) justificar por que o número de potência pode ser considerado constante em regime turbulento.
Informações relevantes (variáveis que tipicamente controlam um problema de agitação e transferência de oxigênio):
  • Potência fornecida ao fluido: P (dimensão: M\,L^{2}\,T^{-3})
  • Densidade do fluido: \rho (dimensão: M\,L^{-3})
  • Viscosidade dinâmica: \mu (dimensão: M\,L^{-1}\,T^{-1})
  • Diâmetro do agitador (impeller): D (dimensão: L)
  • Velocidade de rotação do agitador (número de rotações por segundo): N (dimensão: T^{-1})
  • Difusividade molecular do soluto (oxigênio no líquido): D_{AB} (dimensão: L^{2}\,T^{-1})
  • Coeficiente de transferência de massa superficial (coeficiente de filme) para oxigênio: k_{L} (dimensão: L\,T^{-1})
Observação: eu considerei essas variáveis como suficientes para descrever potência hidrodinâmica e transferência de oxigênio num agitador. Não vou inventar figuras ou outras grandezas não mencionadas.

Passo 2

Breve aula sobre o Teorema \pi de Buckingham (explicação prática e sem jargão):
  • O teorema diz que, se um problema envolve n variáveis que dependem de r dimensões fundamentais independentes (aqui normalmente M,L,T), então você pode escrever a relação entre essas variáveis como uma relação entre n-r números adimensionais (os \pis).
  • Procedimento prático: liste as variáveis com suas dimensões, escolha r variáveis independentes (chamadas de variáveis repetidoras) cujas dimensões formem uma base, e combine as outras variáveis com potências das repetidoras para construir quantidades sem dimensão. Resolver as potências é resolver um pequeno sistema linear.
Aplicando ao nosso caso:
  • Número de variáveis n = 7: P,\rho,\mu,D,N,D_{AB},k_L.
  • Dimensões fundamentais r = 3: M,L,T.
  • Logo teremos n-r = 4 grupos adimensionais independentes.
Escolha das variáveis repetidoras:
  • Vou usar \rho, N e D. Motivo: são independentes dimensionalmente ( \rho traz M, D traz L, N traz T^{-1}) e são escolhas comuns em problemas rotacionais (facilitam aparecer Re, Po, etc.). Vou mostrar passo a passo como formar os \pis.

Passo 3

Construção do primeiro \pi: potência adimensional (vai dar o número de potência).
  • Queremos uma combinação do tipo \pi_1 = P \,\rho^{a}\,N^{b}\,D^{c} que seja adimensional.
  • Dimensões: [P]=M\,L^{2}\,T^{-3}, [\rho]=M\,L^{-3}, [N]=T^{-1}, [D]=L.
  • Escrevemos a condição de nulidade das potências de M,L,T: M:\; 1 + a = 0
L:\; 2 -3a + c = 0
T:\; -3 - b = 0
  • Resolvendo: da primeira, a=-1; da terceira, b=-3; substituindo em segunda: 2 -3(-1) + c = 0 \Rightarrow 2+3 + c = 0 \Rightarrow c = -5.
  • Portanto \pi_1 = P\,\rho^{-1}\,N^{-3}\,D^{-5} = \frac{P}{\rho\,N^{3}\,D^{5}}.
  • Esse \pi_1 é o número de potência, normalmente chamado de Po.

Passo 4

Construção do segundo \pi: envolvendo a viscosidade (vai dar o inverso do Reynolds).
  • Formamos \pi_2 = \mu\,\rho^{a}\,N^{b}\,D^{c}.
  • Dimensões: [\mu]=M\,L^{-1}\,T^{-1}.
  • Condições: M:\; 1 + a = 0
L:\; -1 -3a + c = 0
T:\; -1 - b = 0
  • Da primeira, a=-1. Da terceira, b=-1. Na segunda: -1 -3(-1) + c = 0 \Rightarrow -1+3 + c = 0 \Rightarrow c = -2.
  • Logo \pi_2 = \mu\,\rho^{-1}\,N^{-1}\,D^{-2} = \frac{\mu}{\rho\,N\,D^{2}}.
  • Invertendo \pi_2 aparece o número de Reynolds do agitador: Re = \frac{1}{\pi_2} = \frac{\rho\,N\,D^{2}}{\mu}.
  • Explicação física curta: Re compara forças inerciais caracterizadas por \rho N^{2} D^{2} com forças viscosas caracterizadas por \mu N (aplicando as escalas de velocidade e comprimento associados ao agitador).

Passo 5

Construção do terceiro \pi: envolvendo o coeficiente de transferência de massa k_{L}.
  • Formamos \pi_3 = k_{L}\,\rho^{a}\,N^{b}\,D^{c}.
  • Dimensões: [k_{L}] = L\,T^{-1}.
  • Condições: M:\; 0 + a = 0 \Rightarrow a=0
L:\; 1 -3a + c = 0 \Rightarrow 1 + c = 0 \Rightarrow c = -1
T:\; -1 - b = 0 \Rightarrow b = -1
  • Assim \pi_3 = k_{L}\,N^{-1}\,D^{-1} = \frac{k_{L}}{N\,D}.
  • Interpretação: \pi_3 compara a velocidade de penetração (fluxo de massa por unidade de área) k_L com a escala de velocidade imposta pelo agitador N D.

Passo 6

Construção do quarto \pi: envolvendo a difusividade molecular D_{AB}.
  • Formamos \pi_4 = D_{AB}\,\rho^{a}\,N^{b}\,D^{c}.
  • Dimensões: [D_{AB}]=L^{2}\,T^{-1}.
  • Condições: M:\; 0 + a = 0 \Rightarrow a=0
L:\; 2 -3a + c = 0 \Rightarrow 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2
T:\; -1 - b = 0 \Rightarrow b = -1
  • Logo \pi_4 = D_{AB}\,N^{-1}\,D^{-2} = \frac{D_{AB}}{N\,D^{2}}.
  • Observação: com \pi_3 e \pi_4 podemos formar o número de Sherwood tradicional.

Passo 7

Explicação de como aparece o número de Sherwood e outras combinações úteis.
  • Forme a razão \dfrac{\pi_3}{\pi_4}: \frac{\pi_3}{\pi_4} = \frac{k_{L}/(N D)}{D_{AB}/(N D^{2})} = \frac{k_{L}\,D}{D_{AB}}.
  • A quantidade à direita é o número de Sherwood clássico (usando D como comprimento característico): Sh = \frac{k_{L}\,D}{D_{AB}}.
  • Também é comum aparecer o número de Schmidt Sc = \frac{\mu}{\rho\,D_{AB}},que compara viscosidade cinemática com difusão molecular. Note que Sc pode ser obtido a partir das \pis (por exemplo \pi_2/\pi_4 ou combinações semelhantes).
  • Resumindo, grupos adimensionais relevantes que surgem naturalmente são: Po, Re, Sh (ou \pi_3,\pi_4 separadamente) e Sc. Em formulação funcional, a correlação de transferência de massa costuma ser escrita como Sh = f(Re,Sc,Po,\text{geometria}),mas, se Po é constante em turbulência (ver passo seguinte), a dependência prática reduz-se a Sh = f(Re,Sc,\text{geom}) ou muitas vezes Sh = g(Re,Sc).

Passo 8

Aula curta sobre os grupos obtidos (significado físico e uso em prova):
  • Re = \dfrac{\rho N D^{2}}{\mu}: mede se o escoamento induzido pelo agitador é laminar ou turbulento. Para Re muito grande, efeitos viscosos são pequenos comparados às inerciais.
  • Po = \dfrac{P}{\rho N^{3} D^{5}}: é a potência adimensional; compara a potência real com a escala inercial \rho N^{3} D^{5}. Em experimentos, é usado para caracterizar eficiência do agitador (depende da geometria).
  • Sh = \dfrac{k_{L}D}{D_{AB}}: mede a eficiência de transporte de massa convectivo frente à difusão molecular; é a analogia de um número de Nusselt para transferência de massa.
  • Sc = \dfrac{\mu}{\rho D_{AB}}: mede a razão entre difusão de momento e difusão molecular de massa. Correlações empíricas normalmente unem Sh, Re e Sc, por exemplo Sh = a\,Re^{\alpha} Sc^{\beta} (com a,\alpha,\beta experimentais dependendo da geometria).

Passo 9

Justificativa por que Po pode ser considerado constante em regime turbulento (resposta didática e intuitiva):
  • Em baixas velocidades (Re baixo) a viscosidade atua fortemente; o torque exigido depende da viscosidade e, portanto, Po varia com Re.
  • Em regime totalmente turbulento (Re suficientemente grande) as forças inerciais dominam sobre as viscosas. Na expressão dimensional da potência o termo dominante é associado a balanços entre inércia e pressão, não com a viscosidade.
  • Matematicamente: a correlação geral pode ser escrita como Po = F(Re,\text{geometria}). Para Re \to \infty, os termos que dependem de \mu tornam-se desprezíveis e F tende a um valor que depende apenas da geometria do agitador. Assim Po \approx \text{constante (geom.)}.
  • Físicamente: a estrutura turbulenta transfere momento através de redemoinhos independentes da viscosidade molecular; o torque necessário é proporcional a \rho N^{3} D^{5} vezes um fator geométrico constante. Em engenharia prática isso aparece como curvas de Po que “achatam” para um valor praticamente constante quando Re é grande.
  • Observação empírica: impelidores comuns têm Po típicos (ex.: hélices, âncoras, pás rasas) com valores característicos que são reportados em tabelas; em turbulência usa-se esse valor como propriedade do agitador.

Resposta

Re=\dfrac{\rho\,N\,D^{2}}{\mu}
Po=\dfrac{P}{\rho\,N^{3}\,D^{5}}
Sh'=\dfrac{k_{L}\,D}{D_{AB}}

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