Questão 1: Análise Dimensional e Grupos Adimensionais
a) Utilizando o Teorema
de Buckingham, determine os grupos adimensionais relevantes para o sistema de agitação.
b) Escreva as expressões para:
- Número de Reynolds do agitador (Re)
- Número de Potência (Po)
- Número de Sherwood modificado (
) para transferência de oxigênio
c) Justifique por que o Número de Potência pode ser considerado constante em regime turbulento.
b) Escreva as expressões para:
c) Justifique por que o Número de Potência pode ser considerado constante em regime turbulento.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) usar o Teorema
de Buckingham para determinar os grupos adimensionais relevantes para um sistema de agitação; - (b) escrever as expressões para: número de Reynolds do agitador (
), número de potência ( ) e número de Sherwood modificado ( ) para transferência de oxigênio; - (c) justificar por que o número de potência pode ser considerado constante em regime turbulento.
Informações relevantes (variáveis que tipicamente controlam um problema de agitação e transferência de oxigênio):
- Potência fornecida ao fluido:
(dimensão: ) - Densidade do fluido:
(dimensão: ) - Viscosidade dinâmica:
(dimensão: ) - Diâmetro do agitador (impeller):
(dimensão: ) - Velocidade de rotação do agitador (número de rotações por segundo):
(dimensão: ) - Difusividade molecular do soluto (oxigênio no líquido):
(dimensão: ) - Coeficiente de transferência de massa superficial (coeficiente de filme) para oxigênio:
(dimensão: )
Observação: eu considerei essas variáveis como suficientes para descrever potência hidrodinâmica e transferência de oxigênio num agitador. Não vou inventar figuras ou outras grandezas não mencionadas.
Passo 2
Breve aula sobre o Teorema
de Buckingham (explicação prática e sem jargão):
- O teorema diz que, se um problema envolve
variáveis que dependem de dimensões fundamentais independentes (aqui normalmente ), então você pode escrever a relação entre essas variáveis como uma relação entre números adimensionais (os s). - Procedimento prático: liste as variáveis com suas dimensões, escolha
variáveis independentes (chamadas de variáveis repetidoras) cujas dimensões formem uma base, e combine as outras variáveis com potências das repetidoras para construir quantidades sem dimensão. Resolver as potências é resolver um pequeno sistema linear.
Aplicando ao nosso caso:
- Número de variáveis
: . - Dimensões fundamentais
: . - Logo teremos
grupos adimensionais independentes.
Escolha das variáveis repetidoras:
- Vou usar
, e . Motivo: são independentes dimensionalmente ( traz , traz , traz ) e são escolhas comuns em problemas rotacionais (facilitam aparecer , , etc.). Vou mostrar passo a passo como formar os s.
Passo 3
Construção do primeiro
: potência adimensional (vai dar o número de potência).
- Queremos uma combinação do tipo
que seja adimensional. - Dimensões:
, , , . - Escrevemos a condição de nulidade das potências de
:
- Resolvendo: da primeira,
; da terceira, ; substituindo em segunda: . - Portanto
- Esse
é o número de potência, normalmente chamado de .
Passo 4
Construção do segundo
: envolvendo a viscosidade (vai dar o inverso do Reynolds).
- Formamos
. - Dimensões:
. - Condições:
- Da primeira,
. Da terceira, . Na segunda: . - Logo
- Invertendo
aparece o número de Reynolds do agitador: - Explicação física curta:
compara forças inerciais caracterizadas por com forças viscosas caracterizadas por (aplicando as escalas de velocidade e comprimento associados ao agitador).
Passo 5
Construção do terceiro
: envolvendo o coeficiente de transferência de massa
.
- Formamos
. - Dimensões:
. - Condições:
- Assim
- Interpretação:
compara a velocidade de penetração (fluxo de massa por unidade de área) com a escala de velocidade imposta pelo agitador .
Passo 6
Construção do quarto
: envolvendo a difusividade molecular
.
- Formamos
. - Dimensões:
. - Condições:
- Logo
- Observação: com
e podemos formar o número de Sherwood tradicional.
Passo 7
Explicação de como aparece o número de Sherwood e outras combinações úteis.
- Forme a razão
: - A quantidade à direita é o número de Sherwood clássico (usando
como comprimento característico): - Também é comum aparecer o número de Schmidt
que compara viscosidade cinemática com difusão molecular. Note que pode ser obtido a partir das s (por exemplo ou combinações semelhantes). - Resumindo, grupos adimensionais relevantes que surgem naturalmente são:
, , (ou separadamente) e . Em formulação funcional, a correlação de transferência de massa costuma ser escrita como mas, se é constante em turbulência (ver passo seguinte), a dependência prática reduz-se a ou muitas vezes .
Passo 8
Aula curta sobre os grupos obtidos (significado físico e uso em prova):
-
: mede se o escoamento induzido pelo agitador é laminar ou turbulento. Para muito grande, efeitos viscosos são pequenos comparados às inerciais. -
: é a potência adimensional; compara a potência real com a escala inercial . Em experimentos, é usado para caracterizar eficiência do agitador (depende da geometria). -
: mede a eficiência de transporte de massa convectivo frente à difusão molecular; é a analogia de um número de Nusselt para transferência de massa. -
: mede a razão entre difusão de momento e difusão molecular de massa. Correlações empíricas normalmente unem , e , por exemplo (com experimentais dependendo da geometria).
Passo 9
Justificativa por que
pode ser considerado constante em regime turbulento (resposta didática e intuitiva):
- Em baixas velocidades (Re baixo) a viscosidade atua fortemente; o torque exigido depende da viscosidade e, portanto,
varia com . - Em regime totalmente turbulento (Re suficientemente grande) as forças inerciais dominam sobre as viscosas. Na expressão dimensional da potência o termo dominante é associado a balanços entre inércia e pressão, não com a viscosidade.
- Matematicamente: a correlação geral pode ser escrita como
. Para , os termos que dependem de tornam-se desprezíveis e tende a um valor que depende apenas da geometria do agitador. Assim . - Físicamente: a estrutura turbulenta transfere momento através de redemoinhos independentes da viscosidade molecular; o torque necessário é proporcional a
vezes um fator geométrico constante. Em engenharia prática isso aparece como curvas de que “achatam” para um valor praticamente constante quando é grande. - Observação empírica: impelidores comuns têm
típicos (ex.: hélices, âncoras, pás rasas) com valores característicos que são reportados em tabelas; em turbulência usa-se esse valor como propriedade do agitador.