Questão 2: Escalonamento por Potência por Volume Constante

a) Demonstre que para um sistema geometricamente similar em regime turbulento:
\frac{P}{V} \propto N^{3} D^{2}
b) Deduza a relação de escala para a velocidade de rotação:
\frac{N_{p}}{N_{m}}=\lambda_{L}^{-2 / 3}
c) Calcule N_{p} para o protótipo industrial.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Mostrar que, para um sistema geometricamente similar em regime turbulento, vale a proporção \dfrac{P}{V}\propto N^{3}D^{2}.
  • (b) Deduzir a relação de escala entre velocidades de rotação do protótipo e do modelo: \dfrac{N_{p}}{N_{m}}=\lambda_{L}^{-2/3}.
  • (c) Calcular N_{p} para o protótipo industrial.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • O sistema é geometricamente similar (logo comprimentos entre protótipo e modelo escalam por um fator \lambda_{L}).
  • Está em regime turbulento (o efeito da viscosidade é desprezível nas leis de escala).
  • Não foram fornecidos valores numéricos de \;N_{m}, \;D_{m}, \;D_{p} nem da escala \lambda_{L} no próprio enunciado que você me enviou. Portanto, para calcular numericamente N_{p} (item c) seriam necessários pelo menos N_{m} e \lambda_{L} ou D_{m},D_{p}. Vou deduzir as fórmulas e explicar como obter N_{p}; se você tiver os números eu já aplico.

Passo 2

Entendendo a física e a ideia do escalonamento (aula rápida e prática).
  • O que queremos encontrar é como a potência P depende das grandezas características: densidade do fluido \rho (se o fluido for o mesmo, \rho é constante entre protótipo e modelo), velocidade angular/rotacional N (unidade \mathrm{s}^{-1}) e dimensão linear característica D (por exemplo o diâmetro, unidade \mathrm{m}).
  • Em regime turbulento a viscosidade não entra na expressão dominante de potência (hipótese importante: Reynolds grande). Assim assumimos que as grandezas relevantes são P,\rho,N,D.
Vamos usar análise dimensional (muito prática e confiável para este tipo de problema).
  • Dimensões: potência P tem dimensão de energia por tempo, isto é [\!P\!]=\mathrm{M\,L^{2}\,T^{-3}}.
  • Densidade \rho: [\!\rho\!]=\mathrm{M\,L^{-3}}.
  • Rotação N: [\!N\!]=\mathrm{T^{-1}}.
  • Comprimento D: [\!D\!]=\mathrm{L}.
Assumimos uma lei do tipo
P \propto \rho^{a} N^{b} D^{c}.
Agora igualamos dimensões. Substituindo as dimensões:
\mathrm{M\,L^{2}\,T^{-3}} \propto (\mathrm{M\,L^{-3}})^{a} (\mathrm{T^{-1}})^{b} (\mathrm{L})^{c}.
Isso dá, comparando os expoentes de cada dimensão:
  • Massa ( \mathrm{M}): 1 = a.
  • Tempo ( \mathrm{T}): -3 = -b \Rightarrow b = 3.
  • Comprimento ( \mathrm{L}): 2 = -3a + c. Como a=1, então 2 = -3 + c \Rightarrow c = 5.
Portanto obtemos a lei dimensional:
P \propto \rho \, N^{3}\, D^{5}.

Passo 3

De P \propto \rho N^{3} D^{5} para a relação pedida em (a).
  • O volume característico do equipamento geometricamente similar escala como o cubo do comprimento linear: V \propto D^{3}. (Explicação: se você amplia todas as dimensões por um fator k, volumes aumentam por k^{3}.)
  • Dividindo P por V temos
\frac{P}{V} \propto \frac{\rho N^{3} D^{5}}{D^{3}} = \rho\, N^{3} D^{2}.
  • Se o protótipo e o modelo usam o mesmo fluido, \rho é constante entre eles e pode ser absorvida na constante de proporcionalidade. Assim, em termos de proporção útil:
\boxed{\frac{P}{V} \propto N^{3} D^{2}.}
Isto responde o item (a). Intuição rápida: potência cresce rápido com N (cúbico) e também com o tamanho (aqui efetivamente como D^{2} quando se fala de potência por volume).

Passo 4

Deduções para a escala de rotações (item b).
  • A condição de “escalonamento por potência por volume constante” implica que (P/V)_{p}=(P/V)_{m} entre protótipo (índice p) e modelo (índice m).
  • Usando a proporcionalidade do passo anterior:
N_{p}^{3} D_{p}^{2} \propto N_{m}^{3} D_{m}^{2}.
  • Como estamos igualando (mesma constante de proporcionalidade), podemos escrever:
N_{p}^{3} D_{p}^{2} = N_{m}^{3} D_{m}^{2}.
  • Isolando a razão N_{p}/N_{m}:
\left(\frac{N_{p}}{N_{m}}\right)^{3} = \left(\frac{D_{m}}{D_{p}}\right)^{2}
\frac{N_{p}}{N_{m}} = \left(\frac{D_{m}}{D_{p}}\right)^{2/3}.
  • Definindo o fator geométrico de escala \lambda_{L} como a razão dos comprimentos do protótipo para o modelo:
\lambda_{L}=\frac{D_{p}}{D_{m}},
temos \dfrac{D_{m}}{D_{p}}=\lambda_{L}^{-1}. Substituindo:
\boxed{\frac{N_{p}}{N_{m}}=\lambda_{L}^{-2/3}.}
Isto responde o item (b). Interpretação: se o protótipo é maior ( \lambda_{L}>1), a rotação necessária no protótipo é menor que a do modelo, seguindo a potência por volume mantida.

Passo 5

Sobre o cálculo numérico pedido em (c).
  • A relação para obter N_{p} a partir de N_{m} e \lambda_{L} é diretamente
\boxed{N_{p} = N_{m}\,\lambda_{L}^{-2/3} = N_{m}\left(\frac{D_{m}}{D_{p}}\right)^{2/3}.}
  • Porém, para calcular um valor numérico de N_{p} preciso dos valores numéricos de N_{m} e de \lambda_{L} (ou de D_{p} e D_{m}). Esses valores não foram fornecidos no enunciado que você me enviou. Então não é possível fornecer um número para N_{p} sem esses dados.
  • Se você me der N_{m} e \lambda_{L} (ou D_{m} e D_{p}), eu aplico a fórmula acima e calculo N_{p} na hora.

Resposta

(a) \dfrac{P}{V}\propto N^{3}D^{2}
(b) \dfrac{N_{p}}{N_{m}}=\lambda_{L}^{-2/3}
(c) Não é possível calcular numericamente N_{p} sem os valores de N_{m} e \lambda_{L}; a relação é N_{p}=N_{m}\,\lambda_{L}^{-2/3}.

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