Questão 2: Escalonamento por Potência por Volume Constante
a) Demonstre que para um sistema geometricamente similar em regime turbulento:
b) Deduza a relação de escala para a velocidade de rotação:
c) Calcule
para o protótipo industrial.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- (a) Mostrar que, para um sistema geometricamente similar em regime turbulento, vale a proporção
. - (b) Deduzir a relação de escala entre velocidades de rotação do protótipo e do modelo:
. - (c) Calcular
para o protótipo industrial.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- O sistema é geometricamente similar (logo comprimentos entre protótipo e modelo escalam por um fator
). - Está em regime turbulento (o efeito da viscosidade é desprezível nas leis de escala).
- Não foram fornecidos valores numéricos de
, , nem da escala no próprio enunciado que você me enviou. Portanto, para calcular numericamente (item c) seriam necessários pelo menos e ou . Vou deduzir as fórmulas e explicar como obter ; se você tiver os números eu já aplico.
Passo 2
Entendendo a física e a ideia do escalonamento (aula rápida e prática).
- O que queremos encontrar é como a potência
depende das grandezas características: densidade do fluido (se o fluido for o mesmo, é constante entre protótipo e modelo), velocidade angular/rotacional (unidade ) e dimensão linear característica (por exemplo o diâmetro, unidade ). - Em regime turbulento a viscosidade não entra na expressão dominante de potência (hipótese importante: Reynolds grande). Assim assumimos que as grandezas relevantes são
.
Vamos usar análise dimensional (muito prática e confiável para este tipo de problema).
- Dimensões: potência
tem dimensão de energia por tempo, isto é . - Densidade
: . - Rotação
: . - Comprimento
: .
Assumimos uma lei do tipo
Agora igualamos dimensões. Substituindo as dimensões:
Isso dá, comparando os expoentes de cada dimensão:
- Massa (
): . - Tempo (
): . - Comprimento (
): . Como , então .
Portanto obtemos a lei dimensional:
Passo 3
De
para a relação pedida em (a).
- O volume característico do equipamento geometricamente similar escala como o cubo do comprimento linear:
. (Explicação: se você amplia todas as dimensões por um fator , volumes aumentam por .) - Dividindo
por temos
- Se o protótipo e o modelo usam o mesmo fluido,
é constante entre eles e pode ser absorvida na constante de proporcionalidade. Assim, em termos de proporção útil:
Isto responde o item (a). Intuição rápida: potência cresce rápido com
(cúbico) e também com o tamanho (aqui efetivamente como
quando se fala de potência por volume).
Passo 4
Deduções para a escala de rotações (item b).
- A condição de “escalonamento por potência por volume constante” implica que
entre protótipo (índice ) e modelo (índice ). - Usando a proporcionalidade do passo anterior:
- Como estamos igualando (mesma constante de proporcionalidade), podemos escrever:
- Isolando a razão
:
- Definindo o fator geométrico de escala
como a razão dos comprimentos do protótipo para o modelo:
temos
. Substituindo:
Isto responde o item (b). Interpretação: se o protótipo é maior (
), a rotação necessária no protótipo é menor que a do modelo, seguindo a potência por volume mantida.
Passo 5
Sobre o cálculo numérico pedido em (c).
- A relação para obter
a partir de e é diretamente
- Porém, para calcular um valor numérico de
preciso dos valores numéricos de e de (ou de e ). Esses valores não foram fornecidos no enunciado que você me enviou. Então não é possível fornecer um número para sem esses dados. - Se você me der
e (ou e ), eu aplico a fórmula acima e calculo na hora.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não é possível calcular numericamente
sem os valores de
e
; a relação é
.